איזומטריה

בטופולוגיה, איזומטריה היא פונקציה משמרת מרחק ממרחב מטרי אחד על מרחב מטרי אחר. מרחבים שיש ביניהם איזומטריה הם איזומטריים, ויש להם אותן תכונות מטריות.

כל איזומטריה היא חד-חד-ערכית (כי היא מעתיקה נקודות שהמרחק ביניהן חיובי לנקודות שהמרחק ביניהן חיובי). לכן איזומטריות הן האיזומורפיזמים של מרחבים מטריים.

הגדרה פורמלית

איזומטריה ממרחב מטרי $S_{1}$ (עם מטריקה $d_{1}$ ) למרחב המטרי $S_{2}$ ( עם המטריקה $d_{2}$ בהתאמה) היא פונקציה $f:S_{1}\to S_{2}$ על, המקיימת $\,d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)$ לכל $x,y\in S_{1}$ .

שלוש נקודות שהיו על ישר אחד עוברות לאותו ישר לפי אי-שוויון המשולש. מכאן שאיזומטריה שומרת על ישרים. כמו כן, משולש עובר לאותו משולש לפי משפט החפיפה צלע-צלע-צלע, ומכאן שאיזומטריה שומרת על זוויות.

איזומטריות במישור האוקלידי

התכונה הבסיסית של איזומטריות של המישור היא שהן מוכרחות לשמור על הקווים הישרים (כלומר, קו ישר תמיד יעבור לקו ישר). בהתאם לכך, יש שלושה סוגים בסיסיים של איזומטריות: שיקוף, סיבוב, והזזה. בעזרת פעולות אלה אפשר לתאר את כל שאר האיזומטריות, השייכות (פרט להעתקת הזהות) לאחת מבין ארבע משפחות:

הזזה - ישנו כיוון יחיד שכל הנקודות מוזזות בו. אין נקודות שבת אלא אם ההזזה ב-0 ואז זו איזומטרית הזהות. הישרים שבכיוון ההזזה נשמרים.
שיקוף - ישר קבוע מתפקד כציר סימטריה; כל נקודה עוברת למקבילה לה מצידו השני. בצורה יותר מדויקת: ציר השיקוף הוא האנך האמצעי לקטע בין נקודה לתמונתה. כאן ציר השיקוף מהווה את אוסף נקודות השבת. לשיקוף יש אינסוף קבוצות קבועות (קבוצות אשר פעולת האיזומטריה עליהן מחזירה אותן).

סיבוב - מסובבים את המישור בזווית נתונה (לא טריויאלית) סביב נקודה קבועה. ישנה נקודת שבת אחת והיא הנקודה הקבועה אלא אם הסיבוב בזווית המתחלקת ב-360 ללא שארית או שהזווית = 0 ואז זו איזומטרית הזהות.
החלקה (או שיקוף מוזז) - זוהי הרכבה של שיקוף ושל הזזה בכיוון ציר השיקוף. שתי העתקות כנ"ל מתחלפות בכפל, כלומר לא משנה איזו מהן מבוצעת קודם. אין נקודות שבת.

ישנה איזומטריה נוספת והיא איזומטרית הזהות. באיזומטריה זו כל נקודה מועתקת אל עצמה ולכן למעשה כל הנקודות הן נקודות שבת וכל קבוצה היא קבוצה קבועה.

אחרי שקובעים את הראשית, אפשר לכתוב כל איזומטריה בצורה $\ T(p)=Ap+v$ כאשר $\ A$ היא מטריצה אורתוגונלית ו- $\ v$ הוא וקטור ההזזה. כאן $\ A$ היא איזומטריה שמשמרת את הראשית. לכן ניתן לחשוב על איזומטריה כאיבר ב- $\ O(2)\times \mathbb {R} ^{2}$ ( $\ O(2)$ היא חבורת המטריצות האורתוגונליות)

במכפלה הזו, המרכיב $\ O(2)$ פועל על המישור לפי פעולת המטריצות. ביתר פירוט, אם $\ T_{i}(p)=A_{i}p+v_{i}$ עבור $\ i=1,2$ , אז $\ T_{2}\cdot T_{1}(p)=A_{2}A_{1}p+A_{2}v_{1}+v_{2}$ .