חבורת ארטין

חבורת ארטין (Artin Group) היא חבורה מוצגת סופית בעלת יחסים מסוימים המערבים מכפלות חוזרות של שני יוצרים. חבורות מסוג זה מכלילות את חבורת הצמות, ולכל חבורת ארטין ניתן להתאים חבורת קוקסטר המתקבלת כמנה שלה, בהוספת היחסים ההופכים כל איבר לאיבר מסדר 2.

חבורות ארטין נחקרות במספר תחומים במתמטיקה, כמו תורת החבורות הקומבינטורית, הצפנה לא קומוטטיבית, טופולוגיה גאומטרית.

החבורות נקראות על שם המתמטיקאי אמיל ארטין.

הגדרה

חבורה נקראת חבורת ארטין אם יש לה הצגה סופית מהצורה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \sigma _{ 1 },\dots ,\sigma _{ n }\mid (\sigma _{ 1 },\sigma _{ 2 })^{ m_{ 1,2 } }=(\sigma _{ 2 },\sigma _{ 1 })^{ m_{ 2,1 } },\dots ,(\sigma _{ n-1 },\sigma _{ n })^{ m_{ n-1.n } }=(\sigma _{ n },\sigma _{ n-1 })^{ m_{ n,n-1 } }\rangle }

כאשר $m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\dots ,\infty \}$ ו-$(\sigma _{i},\sigma _{j})^{m_{i,j}}$ הוא האיבר בו מתבצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j}} הכפלות לסירוגין של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_i , \sigma_j} המתחילות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_i} . כך למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\sigma_1,\sigma_2)^3=\sigma_1 \sigma_2 \sigma_1} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j} = \infty} פירושו שלא מופיע יחס בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_i,\sigma_j} . היות שהיחסים על האלכסון חסרי משמעות, נקבע כי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle m_{i,i}=\infty } .

מבנה

מטריצת קוקסטר

לכל חבורת ארטין ניתן להתאים טבלה ריבועית אשר במקום ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,j} מופיע האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j}} . מטריצה סימטרית זו נקראת מטריצת קוקסטר של החבורה, וכל חבורת קוקסטר בעלת טבלה כזו מתקבלת על ידי מנה של חבורת ארטין המקורית, בתוספת היחסים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_1^2=1,\dots \sigma_n^2=1} . בפרט, מוגדר אפימורפיזם מחבורת ארטין לחבורת קוקסטר המתאימה לה, והגרעין שלו נקרא חבורת ארטין טהורה.

גרף ארטין

לכל חבורת ארטין ניתן להתאים גרף מכוון (כי המטריצה סימטרית), בו הקדקודים מייצגים את איברי החבורה, וביניהם יש קשתות בעלות משקלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j}} (ובלי קשת במקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j}=\infty} ) - כלומר כל יחס מיוצג על ידי קשת. זהו גרף בלי קשתות כפולות ובלי לולאות. אוטומורפיזמים של גרפים משרים אוטומורפיזמים על חבורת ארטין המתאימה, ולכן בעזרת הגרף ניתן למצוא תת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Aut}(G)} .

דוגמאות

חבורת הצמות

חבורת הצמות היא בפרט חבורת ארטין, בעלת מטריצה:

${\begin{pmatrix}\infty &3&2&\dots &2\\3&\ddots &3&\dots &\dots \\2&\ddots &\ddots &\ddots &2\\\dots &\dots &\ddots &\ddots &3\\2&\dots &2&3&\infty \end{pmatrix}}$

חבורת קוקסטר המתאימה לה היא החבורה הסימטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n} , והגרעין של האפימורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi:B_n \to S_n} נקראת חבורת הצמות הטהורה.

חבורת ארטין מטיפוס סופי

במקרה בו חבורת קוקסטר המתאימה לחבורת ארטין היא סופית, חבורת ארטין נקראת מטיפוס סופי (Artin group of finite type). כך למשל, חבורת הצמות היא מטיפוס סופי.

הטיפוסים האי-פריקים בקטגוריה זו מסומנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n, B_n=C_n,D_n,I_2(n),F_4,E_6,E_7,E_8,H_3,H_4} (ראו לקריאה נוספת לפרטים). חבורת ארטין טהורה של חבורת ארטין מטיפוס סופי ניתן לממש בתור חבורה יסודית של משלים של סידורים היפר-מישורים במרחב מרוכב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}^n} . בעזרת תיאור זה ניתן לחשב את המרכז של חבורת ארטין המתאימה, וכן לפתור את בעיית המילה ובעיית הצמידות שלה.

חבורת ארטין ישרת-זווית

חבורת ארטין נקראת ישרת-זווית (Right-angled Artin group) אם מתקיים $m_{i,j}\in \{2,\infty \}$, כלומר כל היחסים הם יחסי קומוטטיביות. במקרה זה מתאימים לכל חבורה גרף אחר: לוקחים כל גרף לא מכוון ומתאימים לו את היחסים, כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j}=2} אם יש קשת בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,j} , ואינסוף אחרת. כלומר, היוצרים בחבורה יתחלפו בדיוק כאשר יש בין הקודקודים המתאימים להם קשת.

למשל, כל חבורה חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה הגרף הריק); כל חבורה אבלית חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה גרף שלם); החבורה המתאימה לגרף ריבוע היא מכפלה ישרה של שתי חבורות חופשיות.

כל חבורת ארטין ישרת-זווית ניתן לשכן בתור תת-חבורה מאינדקס סופי בתוך חבורת קוקסטר ישרת-זווית כלשהי. בפרט, אלו הן חבורות לינאריות.

חבורת ארטין ישרת-זווית מתקבלת כחבורה יסודית של משטח 3-ממדי אם ורק אם בגרף המתאים לה כל רכיב קשירות הוא משולש או עץ.

לפרטים ותכונות נוספים ראו לקריאה נוספת.

חבורת ארטין מטיפוס גדול

חבורת ארטין נקראת מטיפוס גדול (Artin group of large type) אם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j} \ge 3} , ונקראת מטיפוס גדול במיוחד (extra-large type) אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i,j} \ge 4} .

חבורות ארטין גדולות במיוחד הן חסרות פיתול, ותת-החבורה שלהן מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \sigma_1 ^2, \dots , \sigma_n^2 \rangle} היא חופשית. הוכח גם שבחבורות מסוג זה בעיית הצמידות היא פתירה.

שימושים בהצפנה

חבורת הצמות הייתה הצעה קלאסית של מספר מחברים לשימוש במספר פרוטוקולי הצפנה, כמו Anshel-Anshel-Goldfeld ו-Ko-Lee. עם זאת, הוצעו מספר התקפות (הסתברותיות) על בעיית חיפוש המצמיד של חבורת הצמות, ולכן נדרשו חבורות אחרות. אחת ההצעות הייתה להכליל את חבורת הצמות בעזרת חבורות ארטין, ואכן הוצעו מספר חבורות ארטין בעלות יחסים מסובכים יותר, וגם בחלקן הצליחו לפרוץ בעיית חיפוש המצמיד.

ראו גם

• חבורת הצמות
• חבורת קוקסטר
• חבורה גאוסיאנית
• חבורת גרסייד

לקריאה נוספת

• Braid groups and Artin groups, Luis Paris, 2007
• An Introduction To Right-Angled Artin Groups, Ruth Charney