ערך עצמי

ערך זה עוסק במושג מתמטי. אם התכוונתם למושג מתחום הפסיכולוגיה, ראו הערכה עצמית.

באלגברה ליניארית, ערך עצמי (eigenvalue) של טרנספורמציה ליניארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, המסומן לרוב כ- $\lambda$ , כך שקיים וקטור שונה מווקטור האפס (הנקרא וקטור עצמי) שהפעלת הטרנספורמציה עליו, או הכפלתו במטריצה, מכפילה אותו באותו סקלר. במילים אחרות, וקטור עצמי של טרנספורמציה או המטריצה הוא וקטור כזה, שעבורו הטרנספורמציה או המטריצה מתנהגים כמו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת הטרנספורמציה היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו.

בשל הקשר ההדוק בין מטריצות וטרנספורמציות, שמאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן.

הגדרה פורמלית

יהי $V$ מרחב וקטורי ותהא $T\colon V\to V$ טרנספורמציה ליניארית. אם קיים וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \in V} השונה מאפס וסקלר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(v)=\lambda v} , אזי נקרא ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} ערך עצמי (eigenvalue) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , ול־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} נקרא וקטור עצמי (eigenvector) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} השייך לערך העצמי $\lambda$ .

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מטריצה ריבועית מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מעל שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}} ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \in \mathbb{F}^n} וקטור השונה מאפס.

אם קיים סקלר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda\isin\mathbb F} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Av=\lambda v} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} יקרא וקטור עצמי של $A$ השייך לערך העצמי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} .

וקטור עצמי ומרחב עצמי

עבור מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} הם כל הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( A - \lambda I \right) v = 0 } , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} היא מטריצת היחידה. למשוואה הזו יהיה פתרון שאינו טריוויאלי (כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \neq 0} ) רק כאשר הדטרמיננטה תהיה שווה לאפס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A - \lambda I)=0 } .

אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} , והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים, אז $\,\lambda$ הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים ליניארית זה בזה.

לעיתים קרובות, משתמשים בקיצור ו"ע עבור "וקטור עצמי", וכן בקיצור ע"ע עבור "ערך עצמי".

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( A - \lambda I \right) v = 0 } . הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

מציאת ערכים עצמיים

ערכים עצמיים מסייעים להצגת טרנספורמציות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית בתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.

השיטה התאורטית הנפוצה ביותר היא באמצעות הפולינום האופייני של המטריצה, שכן הערכים העצמיים הם שורשיו.
שיטה להערכה של הערכים העצמיים מבלי למצוא אותם במדויק נתונה על ידי עיגולי גרשגורן.

הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורים עצמיים שלה.

למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

שיטות נומריות

עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות ממעלה חמישית ויותר. נילס הנריק אבל ופאולו רופיני הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש בשיטות נומריות המבוססות על שיטות איטרטיביות. שיטות אלה מחשבות קירוב לערכים העצמיים ולוקטורים העצמיים, אבל הקירוב יכול להיות בכל דיוק רצוי. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמאיים היא אלגוריתם QR.

אלגוריתמים נפוצים למציאת ערכים עצמיים
אלגוריתם	קלט	פלט	תיאור	שלב אתחול	שלב עדכון
שיטת החזקה	מטריצה כללית	הערך העצמי הגדול והווקטור העצמי המתאים לו	מתחילים מווקטור שרירותי, שאותו מכפילים במטריצה ומנרמלים עד להתכנסות.	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b_0} שרירותי	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b_{k+1} = \frac{Ab_k}{\\|Ab_k\\|} }
שיטת החזקה ההפוכה	מטריצה כללית ומספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda} (קירוב לערך העצמי המבוקש)	הערך העצמי הקרוב ביותר להפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda} ואת הווקטור העצמי המתאים לו	מפעילים את שיטת החזקה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle (A-\lambda I)^{-1}}
אלגוריתם QR^[1]	מטריצה כללית (יעיל יותר על מטריצת הסנברג)	כל הערכים והווקטורים העצמיים	מבוסס על איטרציות שבכל שלב מוצאים פירוק QR של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A_k=Q_k R_k} (‏הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Q_k} היא מטריצה אורתוגונלית ו- ${\textstyle R_{k}}$ היא מטריצה משולשית עליונה). תחת תנאים מסוימים מתכנסים לפירוק שור והערכים העצמיים מצויים על האלכסון של המטריצה המשולשית.	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A=Q_1 R_1}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A_{k+1}=R_k Q_k}
איטרציות יעקובי	מטריצה סימטרית ממשית	כל הערכים והווקטורים העצמיים	בכל איטרציה מצמידים את המטריצה במטריצה אוניטרית כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, וכך מלכסנים את המטריצה
אלגוריתם לנצוש	מטריצה סימטרית או מטריצה הרמיטית ומספר האטרציות	חלק מהערכים העצמיים
אלגוריתם ארנולדי	מטריצה כללית ומספר האטרציות	חלק מהערכים העצמיים	מקבילה של אלגוריתם לנצוש למטריצה כללית

ספקטרום

ערך מורחב – ספקטרום של אופרטור

עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A-tI} . קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מחשבון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים (בגרמנית)
שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערות שוליים

^ J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961, received Oct 1959) online at oxfordjournals.org;
J.G.F. Francis, "The QR Transformation, II" The Computer Journal, vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962) online at oxfordjournals.org.
Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35538489ערך עצמי

[1] J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961, received Oct 1959) online at oxfordjournals.org;
J.G.F. Francis, "The QR Transformation, II" The Computer Journal, vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962) online at oxfordjournals.org.
Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).

[1]

נושאים באלגברה ליניארית
מושגי יסוד	שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה
וקטורים	סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד
מטריצות	כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן
העתקות	העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית
מרחבי מכפלה פנימית	מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה
תבניות	תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור

ערך עצמי

תוכן עניינים

הגדרה פורמלית

וקטור עצמי ומרחב עצמי

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מציאת ערכים עצמיים

שיטות נומריות

ספקטרום

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

ערך עצמי

הגדרה פורמלית

וקטור עצמי ומרחב עצמי

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מציאת ערכים עצמיים

שיטות נומריות

ספקטרום

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש