מרחב פתרונות

באלגברה לינארית, מרחב הפתרונות, מרחב האפסים או הגרעין של מטריצה $A$ הוא קבוצת כל הווקטורים שפותרים את המשוואה $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$. כלומר זהו אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינאריות ההומוגונית המיוצגת על ידי $A$. את מרחב הפתרונות מסמנים ${\mbox{Null}}(A)$. מרחב הפתרונות הוא תת-מרחב וקטורי של המרחב הווקטורי $F^{n}$, כאשר F הוא השדה שמעליו מוגדרות המשוואות, ו-n הוא מספר העמודות ב-$A$ (שהוא מספר הנעלמים במערכת המשוואות). זאת משום שסכום פתרונות הוא פתרון, וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון.

אם $T$ היא העתקה לינארית שמיוצגת על ידי מטריצה $A$ לפי בסיס סדור $B$ של התחום של $T$, אז ${\mbox{Null}}(A)$ הוא מרחב וקטורי הקואורדינטות של הגרעין ${\mbox{Ker}}(T)$ לפי $B$, ושני המרחבים איזומרפיים.

הממד של ${\mbox{Null}}(A)$ נקרא האפסיות של $A$ ומסומן ${\mbox{nullity}}(A)$. לכל מטריצה $A$ עם n עמודות מתקיים ${\mbox{nullity}}(A)+{\mbox{rank}}(A)=n$, כאשר ${\mbox{rank}}(A)$ הוא דרגת $A$. המשפט המקביל להעתקות הוא $\dim \operatorname {Ker} T+\dim \operatorname {Im} \,T=\dim V$, כאשר $V$ הוא התחום של $T$.

לפי הגדרתו מרחב הפתרונות של מטריצה הוא מרחב הווקטורים העצמיים השייכים לערך עצמי 0. אם המטריצה היא מטריצה הפיכה מרחב הפתרונות מתנוון וכולל רק את וקטור האפס. מרחב פתרונות לעולם אינו ריק כי הוא תמיד כולל את וקטור האפס. באופן כללי, המרחב העצמי של ערך עצמי $\lambda$ של מטריצה $A$ הוא ${\mbox{Null}}(A-\lambda I)$.

דירוג מטריצות מבוסס על הפעלת פעולות אלמנטריות על מטריצה שמשנות אותה, אך שומרות על מרחב הפתרונות שלה. שיטת הלכסון של גאוס מתבססת על כך לשם פתרון מערכות של משוואות לינאריות; מביאים את המטריצה שמייצגת את המערכת למצב מדורג קנוני ממנו קל לקרוא את מרחב הפתרונות, שהוא אוסף הפתרונות למערכת.

דוגמה

נבחן את המטריצה $A={\begin{bmatrix}\,\,\,2&1&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$. מערכת המשוואות המתאימה היא:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&z&&\;=\;&&0\\-x&&\;\;&&&&\;\;&&&&\;=\;&&0\\\end{alignedat}}$

שפתרונה $(0,t,-t)$, כאשר t פרמטר הנבחר בחופשיות. על כן מרחב הפתרונות הוא הישר במרחב התלת ממדי העובר דרך $(0,1,-1)$ והראשית. ${\mbox{nullity}}(A)=1$, שכן ישר הוא חד-ממדי.

מערכת משוואות לינארית אי-הומוגנית

נתונה מערכת משוואות לינאריות $A{\textbf {x}}={\textbf {b}}$. בהינתן שני פתרונות למערכת $\mathbf {v} ,\mathbf {u}$, ההפרש ביניהם מקיים:

$A(\mathbf {v-u} )=A\mathbf {v} -A\mathbf {u} ={\textbf {b}}-{\textbf {b}}={\textbf {0}}$

כלומר $\mathbf {v-u} \in {\mbox{Null}}(A)$. באופן דומה אם $\mathbf {v}$ פתרון של המערכת האי-הומוגנית ו-$\mathbf {w}$ פתרון של המערכת ההומוגנית אז:

$A(\mathbf {v+w} )=A\mathbf {v} +A\mathbf {w} ={\textbf {b}}+{\textbf {0}}={\textbf {b}}$

צירוף שתי העובדות יחדיו מוביל למסקנה שבהינתן פתרון של המערכת $A{\textbf {x}}={\textbf {b}}$, אז כל פתרון אחר מתקבל ממנו על ידי חיבור פתרון של $A{\textbf {x}}={\textbf {0}}$. בניסוח אחר, אם $\mathbf {p}$ הוא פתרון כלשהו של $A{\textbf {x}}={\textbf {b}}$, אז קבוצת הפתרונות של $A{\textbf {x}}={\textbf {b}}$ היא $\mathbf {p} +{\mbox{Null}}(A)=\{\mathbf {p} +\mathbf {v} :\mathbf {v} \in {\mbox{Null}}(A)\}$. זהו מרחב אפיני.