מבחן F

בסטטיסטיקה, מבחן F הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס. השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי George Waddel Snedecor, כמחווה לרונלד פישר.

דוגמאות למבחן F

להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.

• בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה.
• בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים.

דוגמה להשוואה בין שונויות

יהיו $X_{1},...,X_{n}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ ויהיו $Y_{1},...,Y_{m}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ שני מדגמים כאשר השונויות והתוחלות אינן ידועות. ונניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו:

$$H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$$

$$H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$$

כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית:

$${\hat {\mu }}_{1}={\bar {X}},{\hat {\mu }}_{2}={\bar {Y}},{\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2},{\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}$$

פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת:

$$L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}$$

תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן ${\hat {\sigma }}_{0}^{2}={\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}+\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n+m}}$. כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס הינה:

$$L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}$$

משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא:

$$\lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})}{L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}$$

ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:

$$\lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}$$

כעת, נביט בסטטיסטי $T(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}$. נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, $\lambda (X,Y)$ שואפת לאינסוף. לכן מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:

נדחה את השערת האפס אם $T(X,Y)>C_{1}$ או $T(X,Y)<C_{2}$ כאשר רמת הביטחון מקיימת $\alpha =P(T(X,Y)<C_{2}orT(X,Y)>C_{1})$.

כעת, נשים לב לתכונות הבאות: ${\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/m-1}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/n-1}}={\frac {S_{Y}^{2}}{S_{X}^{2}}}\sim {\frac {\chi _{m-1}^{2}/m-1}{\chi _{n-1}^{2}/n-1}}=F_{m-1,n-1}$

לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי $T'(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/m-1}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/n-1}}$. כדי לקבל אותו, נכפול ונחלק ב-$n-1,m-1$ את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק אם ערכי C שונים:

נדחה את השערת האפס אם $T'(X,Y)>C_{1}^{*}$ או $T'(X,Y)<C_{2}^{*}$ כאשר רמת הביטחון מקיימת $\alpha =P(T'(X,Y)<C_{2}^{*}orT'(X,Y)>C_{1}^{*})$.

ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F : $C_{1}^{*}=F_{m-1,n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}},C_{2}^{*}=F_{m-1,n-1;{\frac {\alpha }{2}}}$