קבוע אוילר-מסקרוני

המונח "קבוע אוילר" מפנה לכאן. אם הכוונה למשמעות אחרת, ראו מספר אוילר.

השטח הכחול הכלוא בין גרף של

1/\lfloor x\rfloor

לגרף של

1/x

בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר מסקרוני.

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

קבוע אוילר, הידוע גם כקבוע אוילר-מסקרוני או כקבוע מסקרוני הוא קבוע מתמטי, שהשימוש העיקרי שלו הוא בתורת המספרים, המסומן באות גמא ( $\,\gamma$ ) ומוגדר על ידי הגבול:

\gamma =\lim _{n\to \infty }1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n

כלומר קבוע אוילר הוא ההפרש האסימפטוטי בין הטור ההרמוני ללוגריתם הטבעי. הפרש זה מתכנס באופן טבעי מכיוון ש- $\ln n=\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx$ ולכן סכום $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ הוא מן "גרסה בדידה" של הלוגוריתם הטבעי. מכאן נובעת דרך תיאור נוספת של הקבוע: $\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx$ , כאשר $\lfloor x\rfloor$ הוא הערך השלם של x.

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: $\,\gamma =0.577215664901532860\ldots$ ‏(סדרה , באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.). עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר רציונלי או אי רציונלי.

היסטוריה

הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת 1735. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1761 הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1790, הציע המתמטיקאי האיטלקי לורנצו מסקרוני את סימון הקבוע באות $\,\gamma$ (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה. המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן מצא טורים שונים המתכנסים ל- $\,\gamma$ .

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח שבר משולב מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו לא יהיה קטן מ- $10^{242080}$ .

תכונות

קיום הקבוע

ההוכחה שהסדרה

a_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n

מתכנסת לגבול סופי היא קלה מאוד, אך עדיין אינה טריוויאלית. ברור מן הגרף לעיל שזו סדרה מונוטונית עולה וחיובית ולכן מספיק להוכיח קיום חסם עליון. מספיק להראות ש-

\lim _{n\to \infty }(a_{n}-1)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n

קיים. קל לראות שלכל $k$ שטח המלבן שרוחבו 1 וגובהו ${\frac {1}{k}}$ קטן מהאינטגרל $\int _{k}^{k+1}{\frac {dx}{x-1}}$ , ולכן מתקיים

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}<0

.

לפיכך הגבול קיים ו- $-1<\gamma -1<0\implies 0<\gamma <1$ .

הצגות אינטגרליות

ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי האינטגרלים הבאים:

\gamma =-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln(x)}\,dx

=-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx

=\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)e^{-x}}\,dx

=\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx.

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך $\gamma$ הם:

\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln(x)}\,dx=-1/4(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}

\int _{0}^{\infty }{e^{-x}(\ln(x))^{2}}\,dx=\gamma ^{2}+1/6\pi ^{2}.

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת אינטגרל כפול:

\gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy.

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy.

מראה כי ניתן להסתכל על $\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)$ בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

\gamma =\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\left\lfloor \log _{2}m\right\rfloor }{m}}

כאשר $\log _{2}$ הוא הלוגריתם בבסיס 2 ו- $\left\lfloor \,\right\rfloor$ היא פונקציית הערך השלם.

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx.

קשרים לפונקציות מיוחדות

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כטור אינסופי של איברים הכוללים ערכים של פונקציית זטא של רימן של מספרים שלמים וחיוביים:

\gamma =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}

=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}.

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

\gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]

=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right]

=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right].

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי פונקציית בטא (במונחים של פונקציות גמא):

\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right].

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

\gamma =\lim _{s\to 1}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)

והגבול

$\gamma =\lim _{x\to \infty }\left[x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right]=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n=1}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)$

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

\gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}

כאשר $\zeta (s,k)_{}^{}$ היא פונקציית הורביץ-זטא. הסכום במשוואה זה מערב מספרים הרמוניים, המסומנים ב- $\,H_{n}$ . הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:

H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon

, כאשר

0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}.

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של פונקציית גמא של אוילר:

\gamma =-\Gamma '(1)_{}^{}.

$e^{\gamma }$

הקבוע $\,e^{\gamma }$ נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב $\ \gamma '$ ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר p_n הוא המספר הראשוני ה-n-י: