אינדקס (מתמטיקה)

ערך זה עוסק בסימון המתמטי. אם התכוונתם למושג בתורת החבורות, ראו מחלקה (תורת החבורות).

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

אִינְדֵקְס משמש בנוסחאות מתמטיות לציון ערך השייך לקבוצה מסוימת.

למשל: נתונים שני גופים. אזי, המסה של הגוף השני מסומנת באמצעות $m_{2}$ . במקרה זה, המספר "2" הוא האינדקס של המסה.

דוגמה נוספת: עבור מטריצה נתונה $R$ , האבר השני בשורה השלישית שלה מסומן באמצעות $R_{2,3}$ . במקרה זה, המספרים "2,3" הם האינדקסים של המטריצה, כאשר 2 הוא האינדקס של השורה ו־3 הוא האינדקס של העמודה.

שימוש באינדקסים לצורך סכימה וכפל

אחד היתרונות של אפשרות זו היא היכולת לכתוב סכום על קבוצה שלמה של ערכים, מבלי לכתוב כל אחד מהם במפורש. למשל, נניח שיש $n$ תלמידים בכיתה, ושכל אחד מהם קיבל ציון כלשהו במבחן. נסמן את הציון המתאים לתלמיד ה־ $k$ ע"י $x_{k}$ . אזי, על מנת לחשב את ממוצע הציונים, במקום לכתוב את כל הביטוי הארוך: ${\overline {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}}$ , אפשר לכתוב בפשטות: ${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ כאשר $\Sigma$ מסמן סכום.

בענפים של גאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה טנזורית נהוג להשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין. לפי הסכם זה, אם יש אינדקס שמופיע פעמיים בביטוי (למשל $a_{k}b_{k}$ ) מפרשים זאת כאילו סוכמים את כל האברים מהצורה הנ"ל לכל ערכי האינדקס האפשריים ש־ $k$ מקבל, ואין צורך לכתוב את סימן הסכום אלא רק את הביטוי שבתוכו. כך ניתן לכתוב $a_{k}b_{k}$ , והמשמעות תהיה: $a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$ . עוד נעיר שהסכם הסכימה בצורה ריגורוזית יותר מתייחס לביטויים מהצורה $a^{k}b_{k}$ בהם מופיעים אינדקסים עליונים ותחתונים בעלי אותו שם.

בצורה דומה, במקום לכתוב במפורש מכפלה של מספר רב של אברים זה בזה: $X=x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}$ , אפשר להשתמש בסימן המכפלה: $X=\prod _{k=1}^{n}x_{k}$ .

שונות

לרוב, למיקום האינדקסים אין השפעה רבה, אולם בטנזורים ישנם סוגים שונים של אינדקסים: עליונים ותחתונים.
לרוב אין קשר בין אינדקסים שונים המסומנים בסכימה. למשל, בביטוי $\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{m}$ הסכימה היא על $k$ בלבד, ללא כל קשר לאינדקס הנוסף $m$ .