בניית המספרים הממשיים

במתמטיקה, ישנן דרכים שונות להגדיר מהו שדה המספרים הממשיים, רובן משתמשות בקיום שדה המספרים הרציונליים. לא כל הבניות מובילות בסופו של התהליך אל אותה הקבוצה, אך העיקר הוא האיזומורפיזם בין המבנים הנוצרים בכל אחת מהבניות; כלומר, בכל הבניות מגיעים לשדה סדור שלם שהוא גם ארכימדי. בכל הבניות מגיעים גם לקבוצה בעלת אותה עוצמה. משמעות הבנייה היא יצירת קבוצה שמוגדרות עליה שתי פעולות (כפל וחיבור), ויחס סדר מלא (חזק או חלש) אשר מקיימת מספר אקסיומות (שיתוארו להלן).

היסטוריה

במשך מאות שנים, מספר ממשי היה מספר שמייצג אורך של קטע, לאחר שהוסיפו לו כיוון (כלומר הוא יכול להיות גם שלילי). לאחר שהגאומטריה תוארה באמצעים אלגבריים, הובן שיש פה בעיה של הגדרה מעגלית: השדה הממשי מוגדר באמצעות גאומטריה, והגאומטריה מוגדרת באמצעות השדה הממשי. לכן, ב־1872, פרסם גאורג קנטור את דרכו לבניית השדה הממשי מתוך השדה הרציונלי, כשהוא עושה שימוש בסדרות קושי של מספרים רציונליים. מעט מאוחר יותר באותה שנה פרסם ריכרד דדקינד את הגדרתו שלו, העושה שימוש בחתכי דדקינד. מאז פורסמו עוד הרבה מאוד בניות, וחלקן מובאות בערך זה.

אקסיומות

המטרה של כל הבניות זהה: יש ליצור קבוצה $\mathbb {R}$, שעליה מוגדרות פעולות $\cdot ,+$ ויחס סדר $\leq$ (או $<$), כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

1. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\R,+,\cdot)} הוא שדה.
2. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\R,\le)} היא קבוצה סדורה בסדר מלא.
3. כשדה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} הוא שדה סדור שלם ביחס הסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \le} , כלומר:
   • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x\le y\forall z\in\R:x+z\le y+z}
   • $\forall x\leq y\forall z\geq 0:xz\leq yz$
   • לכל תת־קבוצה לא־ריקה $S\subseteq \mathbb {R}$ וַחסומה מלמעלה יש חסם עליון: קיים $M\in \mathbb {R}$ כך שלכל $x\in S$ מתקיים $x\leq M$, וכל $y\in \mathbb {R}$ שעבורו לכל $x\in S$ מתקיים $x\leq y$, מקיים $M\leq y$.

אם הסדר המוגדר הוא חזק ($<$), אז יש להחליף כל מופע של $\leq$ באקסיומות ב$<$, למעט האקסיומה האחרונה, בה יש להשתמש ביחס הסדר החזק $x\leq y\Leftrightarrow x<y\lor x=y$. ניתן לראות כי כל מודל ביחס חזק $<$ הוא גם מודל ביחס החלש המוגדר כמו קודם, וכן כל מודל ביחס $\leq$ הוא גם מודל ביחס החזק $x<y\Leftrightarrow x\leq y\land x\neq y$.

בנייה

סדרות קושי של מספרים רציונליים

בנייה זו של קנטור מסתמכת על העובדה האינטואיטיבית לפיה גם ללא הגדרה של מספרים ממשיים, מתקיים שכל מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים רציונליים. נוכל אם כן להגדיר את המספר להיות סדרה זו. מכיוון שיש כמה סדרות המתכנסות למספר הממשי, נגדיר את המספר להיות קבוצת הסדרות המתכנסות אליו. נגדיר לשם כך יחס שקילות על קבוצת הסדרות שיש להם פוטנציאל להתכנס (אף שאינן מתכנסות, שכן בשדה הרציונלי יש "חורים"), הלוא הם סדרות קושי.

תהי $R$ קבוצת כל סדרות קושי ב-$\mathbb {Q}$, כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך שלכל $\varepsilon >0$ (רציונלי) קיים $N$ טבעי כך שלכל זוג טבעיים $m,n>N$ מתקיים $|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon$.

נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ו-$\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ שקולות אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ (רציונלי) קיים $N$ טבעי כך שלכל $n>N$ טבעי מתקיים $|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon$.
נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:

• רפלקסיביות: לכל סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, לכל $\varepsilon >0$ ולכל $n$, מתקיים $|x_{n}-x_{n}|=0<\varepsilon$.
• סימטריות: $|x_{n}-y_{n}|=|y_{n}-x_{n}|$ ולכן אם האחד קטן מ-$\varepsilon$ גם השני קטן ממנו.
• טרנזיטיביות: יהי $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, ו- $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. יהי $\varepsilon >0$ קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$: $|x_{n}-y_{n}|=|x_{n}-y_{n}+y_{n}-z_{n}|\leq |x_{n}-y_{n}|+|y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$ (על פי אי-שוויון המשולש), לכן $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן $\mathbb {R}$ - זהו שדה המספרים הממשיים.

את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי $q$ מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה $\{q\}_{n=1}^{\infty }$.

את פעולות החיבור והכפל נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
$[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
$[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים: יהו $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. יש להוכיח כי $\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}+w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, ו- $\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\cdot w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

• חיבור: יהי $\varepsilon >0$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$:

$|x_{n}+y_{n}-z_{n}-w_{n}|\leq |x_{n}-z_{n}|+|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

• כפל: כל סדרת קושי היא חסומה, לכן יהי $A$ המקסימום בין החסמים של $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, כלומר לכל $n$ מתקיים $|y_{n}|<A$ וכן $|z_{n}|<A$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$:

$|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\leq |y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon$

נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה $\mathbb {R}$ היא שדה:

• תכונות החיבור:

1. סגירות: יהי $\varepsilon >0$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N_{1}$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$, ולכל $n_{1},n_{2}>N_{2}$ מתקיים $|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n_{1},n_{2}>N$: $|(x_{n_{1}}+y_{n_{1}})-(x_{n_{2}}+y_{n_{2}})|\leq |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|+|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס וקיום האיבר הנגדי נובעות מידית מתכונות אלו בשדה $\mathbb {Q}$, כאשר מגדירים $0=[\{0\}_{n=1}^{\infty }]$, וכן $-[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.

• תכונות הכפל:

1. סגירות: יהי $\varepsilon >0$. נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן ב$A$ את המקסימום מבין החסמים של הסדרות. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N_{1}$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ ולכל $n_{1},n_{2}>N_{2}$ מתקיים $|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$. נסמן $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n_{1},n_{2}>N$: $|x_{n_{1}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{2}}|=|x_{n_{1}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{1}}+x_{n_{2}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{2}}|\leq |y_{n_{1}}||x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|+|x_{n_{2}}||y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon$.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מתכונות אלו בשדה $\mathbb {Q}$, כאשר מגדירים $1=[\{1\}_{n=1}^{\infty }]$.
3. קיום איבר הופכי: נראה קודם כל כי אם ב$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ יש אינסוף אפסים, אז היא שקולה לאיבר האפס: מכיוון שיש אינסוף אפסים, אז לכל $N$ קיים $n>N$ כך ש$x_{n}=0$. יהי $\varepsilon >0$. קיים $N$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<\varepsilon$. יהי $n_{0}>N$ כך ש-$x_{n_{0}}=0$. לכל $n>N$ מתקיים $|x_{n}-0|=|x_{n}-x_{n_{0}}|<\varepsilon$, לכן $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim 0$. כלומר יש להוכיח את קיום האיבר ההופכי רק עבור סדרות שאין בהם אינסוף אפסים. מכיוון שאין אינסוף אפסים, אז יהי $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $x_{n}\not =0$. נסמן ב$\{x_{n}'\}_{n=1}^{\infty }$ את הסדרה המוגדרת על פי $x'_{n}={\begin{cases}x_{n}&&n>N\\1&&n\leq N\end{cases}}$. ברור ש-$\{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, וכן שכל איברי הסדרה $\{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ שונים מאפס, לכן ניתן להניח כי $x_{n}\neq 0$ לכל $n\in \mathbb {N}$. נגדיר $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]^{-1}=[\{x_{n}^{-1}\}_{n=1}^{\infty }]$. נרצה להראות כי זוהי סדרת קושי: נניח בשלילה שלכל $B>0$ ולכל $N\in \mathbb {N}$ קיים $n>N$ כך ש$|x_{n}|<B$. אז בהינתן $\varepsilon >0$, קיים $N$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. בנוסף מההנחה קיים $n_{0}>N$ כך ש$|x_{n_{0}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. לכן לכל $n>N$ מתקיים $|x_{n}-0|\leq |x_{n}-x_{n_{0}}|+|x_{n_{0}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$, כלומר $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim 0$, בניגוד לכך ש$[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\neq 0$. לכן קיימים $B>0,N\in \mathbb {N}$ כך ש$|x_{n}|>B$ לכל $n>N$. נגדיר $A=\min\{|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{N}|,B\}$ ונקבל $A>0$ (כי מתקיים $x_{n}\neq 0\Rightarrow |x_{n}|>0$, וכן $B>0$), וכן $|x_{n}|>A$ לכל $n\in \mathbb {N}$. כעת יהי $\varepsilon >0$. קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<A^{2}\varepsilon$, לכן לכל $n_{1},n_{2}>N$ מתקיים $|x_{n_{1}}^{-1}-x_{n_{2}}^{-1}|={\frac {|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|}{|x_{n_{1}}||x_{n_{2}}|}}<{\frac {A^{2}\varepsilon }{A\cdot A}}=\varepsilon$. כלומר $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]^{-1}$ היא סדרת קושי, וקל לראות $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]^{-1}\cdot [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=1$.

• דיסטריבוטיביות: נובע מהדיסטריבוטיביות ב$\mathbb {Q}$.

בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-$\mathbb {Q}$ נגדיר כך: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$ אם ורק אם קיים r>0 וקיים $N$ טבעי כך שלכל $n>N$ טבעי מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$.

נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:

נניח ש$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ וכן שקיימים $r>0(r\in \mathbb {Q} ),N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$. במקרה זה קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {r}{2}}$ (או בנוסח אחר: $x_{n}-{\frac {r}{2}}<z_{n}<x_{n}+{\frac {r}{2}}$), ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {r}{4}}$ (או בנוסח אחר: $w_{n}-{\frac {r}{4}}<y_{n}<w_{n}+{\frac {r}{4}}$). נבחר $N'=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N'$: $z_{n}<x_{n}+{\frac {r}{2}}<y_{n}-r+{\frac {r}{2}}=y_{n}-{\frac {r}{2}}<w_{n}-{\frac {r}{2}}+{\frac {r}{4}}=w_{n}-{\frac {r}{4}}$.

נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:

• אנטי-רפלקסיביות: לכל $r>0$ ולכל $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, מתקיים $x_{n}-r<x_{n}$ ולכן לא מתקיים $x_{n}<x_{n}-r$, כלומר $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.
• טרנזיטיביות: יהו $r_{1},r_{2}>0$, וכן $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r_{1}$, ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $y_{n}<z_{n}-r_{2}$. אז נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\},r=r_{1}+r_{2}$ ונקבל לכל $n>N$: $x_{n}<y_{n}-r_{1}<z_{n}-r_{1}-r_{2}=z_{n}-(r_{1}+r_{2})=z_{n}-r$.
• השוואה: נניח שמתקיים $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\land [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$. אז לכל $r>0$ ולכל $N$, קיים $n>N$ כך ש-$x_{n}\geq y_{n}-r$ וכן $y_{n}\geq x_{n}-r$. בנוסח אחר נאמר כי $|x_{n}-y_{n}|\leq r$. יהי $\varepsilon >0$. קיימים $N_{1},N_{1}$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N_{1}$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}$, ולכל $n_{1},n_{2}>N_{2}$ מתקיים $|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}$. נסמן $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$. קיים $n_{0}>N$ כך שמתקיים $|x_{n_{0}}-y_{n_{0}}|\leq {\frac {\varepsilon }{3}}$. לכל $n>N$ מתקיים $|x_{n_{0}}-y_{n}|\leq |x_{n_{0}}-y_{n_{0}}|+|y_{n_{0}}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}={\frac {2\varepsilon }{3}}$. לכן לכל $n>N$ מתקיים $|x_{n}-y_{n}|\leq |x_{n}-x_{n_{0}}|+|x_{n_{0}}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {2\varepsilon }{3}}=\varepsilon$, ולכן $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.

נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה לשדה סדור:

נניח כי $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$:

• לכל $n>N$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$ ולכן גם $x_{n}+z_{n}<y_{n}+z_{n}-r$ ובסה"כ $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.
• נניח בנוסף כי $[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]>0$ (כזכור, 0 הוא מחלקת השקילות $[\{0\}_{n=1}^{\infty }]$). לכל $n>N_{1}$, מתקיים $z_{n}-r_{1}>0\Rightarrow z_{n}>r_{1}\Rightarrow -z_{n}<-r_{1}$ (ובפרט $z_{n}>0$), ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$: $x_{n}z_{n}<(y_{n}-r_{2})z_{n}=y_{n}z_{n}-r_{2}z_{n}<y_{n}z_{n}-r_{1}r_{2}$. לכן $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.

העובדה היחידה החסרה לנו היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
תהי $S$ תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי $u$. נגדיר $u_{1}$ כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-$u$ (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-$S$ אינה ריקה, קיים מספר רציונלי $l_{1}$ שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי $S$. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם $a_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}}$ חסם מלעיל אז $u_{n+1}=a_{n}$ ו-$l_{n+1}=l_{n}$, אם הוא אינו חסם מלעיל אז $l_{n+1}=a_{n}$ ו-$u_{n+1}=u_{n}$.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-$r$. קל להראות באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי $u_{n}$ חסם מלעיל ל-$S$ בעוד ש-$l_{n}$ לא, מעובדה זו נובע כי $r$ חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי $t$ מקיים $t<r$, אז קיים $n_{0}$ טבעי עבורו $t<l_{n_{0}}$, ומכיוון ש-$\{l_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית עולה נקבל כי לכל $n\geq n_{0}$ גם מתקיים $t<l_{n}$, אך ראינו כבר ש-$l_{n}$ אינו חסם מלעיל ולכן $t$ שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

חתכי דדקינד

בנייה זו של ריכרד דדקינד מסתמכת על תכונה אחרת אף שקולה: כל מספר ממשי הוא סופרמום של קבוצה של רציונלים, לכן נגדיר אותו להיות קבוצה זו.

חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה $A$ המקיימת:

• $\emptyset \subset A\subset \mathbb {Q}$
• לכל $x\in A$ וגם $y<x$, מתקיים $y\in A$
• ל$A$ אין מקסימום: לא קיים $x\in A$ כך שלכל $y\in A$ מתקיים $y\leq x$.

לכל מספר רציונלי $q$, החתך $\{x:x<q\}$ הוא החתך המייצג את $q$.

עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור ${\sqrt {2}}$ יתאים החתך $\{x:x<0\lor x^{2}<2\}$, ועבור $e=2.71...$ (מספר אוילר) יתאים החתך $\left\{x:\exists n\in \mathbb {N} ,x<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\}$.

את קבוצת חתכי דדקינד נסמן $\mathbb {R}$ - שדה המספרים הממשיים.

נגדיר יחס סדר על השדה: $A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B$.

נגדיר פעולות על השדה:

• חיבור: $A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}$.

את הכפל נגדיר מאוחר יותר, לאחר שנראה את תכונות החיבור:

1. סגירות: $A,B\not =\emptyset \Rightarrow \exists x\in A,y\in B\Rightarrow \exists z=x+y\in A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset$. יהי $M_{1},M_{2}\in \mathbb {Q}$ כך שלכל $x\in A,y\in B$ מתקיים $x<M_{1},y<M_{2}$. נגדיר $M=M_{1}+M_{2}$ ולכן לכל $z\in A+B$ מתקיים $z=x+y<M_{1}+M_{2}=M$, לכן $A+B\not =\mathbb {Q}$. יהי $x\in A+B,y<x$. אז קיימים $a\in A,b\in B$ כך ש-$x=a+b$. נקבל $w:=x-y=a+b-y>0$. מכך שA,B הם חתכים נקבל ש-$\alpha :=a-{\frac {w}{2}}\in A\land \beta :=b-{\frac {w}{2}}\in B$. אז מתקיים $y=x-w=\alpha +\beta \in A+B$. לכל $x\in A$ קיים $a\in A$ כך ש-$x<a$, וכן לגבי $B$. יהי $z=x+y\in A+B$. אז קיימים $a>x,b>y$ בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים $c:=a+b\in A+B$, וכן $c>z$, לכן ל$A+B$ אין מקסימום. לכן $A+B$ הוא חתך.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר האפס נובעות מידית מתכונות אלו בשדה $\mathbb {Q}$, כאשר מגדירים $0=\{q\in \mathbb {Q} |q<0\}$.
3. קיום איבר נגדי: נגדיר את $-A=\{x-y|x<0\land y\in A^{c}\}$. נראה שמתקיים $A+(-A)=0$: יהי $a\in A+(-A)$. אז קיימים $x\in A,y<0,z\in A^{c}$ כך ש-$x+y-z=a$. מתקיים $z>x$, ולכן $a=x+y-z<x+y-x=y<0$. לכן $A+(-A)\subseteq 0$. יהי $a\in 0$, אז מתקיים $a<0$. הקבוצה $A$ היא חתך ולכן חסומה מלעיל. יהי $M\in \mathbb {Q} ,M>0$ כך שלכל $x\in A$ מתקיים $x<M$. יהי $x<-M,x\in A$ ונגדיר $z=-x>M$, כלומר $y\in A^{c}$, וכן נגדיר $y=a<0$. מתקיים $x+y-z=2x+y<-2M+y<y=a$. קיבלנו ייצוג של a כ- $a=x+y-z\land x\in A\land y<0\land z\in A^{c}$, לכן $a\in A+(-A)$. בסה"כ קיבלנו $A+(-A)=0$.

כעת נגדיר את הכפל:

• עבור $A,B\geq 0$, נגדיר $A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0$. אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר $A\cdot B=-(A\cdot -B)=-(-A\cdot B)=-A\cdot -B$.

כעת נראה שמתקיימות תכונות הכפל בשדה:

1. סגירות: נראה זאת כאשר $A,B\geq 0$. שאר המקרים נובעים ממקרה זה. $0\subseteq A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset$. נגדיר את $M_{1},M_{2}$ כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים. נגדיר $M=M_{1}\cdot M_{2}$. לכל $0<z=xy\in AB$ מתקיים $z=xy<M_{1}M_{2}=M$. עבור $z\leq 0$ שוב מתקיים $z<M$. לכן $AB\not =\mathbb {Q}$. נניח כי $0<y<x\in AB$. אז קיימים $a\in A\setminus 0,b\in B\setminus 0$ כך ש-$x=ab$. מתקיים $w:={\frac {x}{y}}>1$. נגדיר $\alpha ={\frac {a}{w}}<a$ אז מתקיים $y=\alpha \cdot b\in A\cdot B$. לכל $x\in A$ קיים $a\in A$ כך ש-$x<a$, וכן לגבי $B$. יהי $z=xy\in AB$.אז קיימים $a>x,b>y$ בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים $c:=ab\in AB$ וכן $c>z$, לכן ל$AB$ אין מקסימום. לכן $AB$ הוא חתך.
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו בשדה $\mathbb {Q}$, כאשר מגדירים $1=\{q\in \mathbb {Q} |q<1\}$.
3. קיום איבר הופכי: נגדיר $\forall A\geq 0:A^{-1}=\left\{{\frac {x}{y}}{\Bigg |}x<1\land y\in A^{c}\right\}.\forall A<0:A^{-1}=-(-A)^{-1}$. יהי $x\in A\cdot A^{-1}$ כאשר $A\geq 0$. אז קיימים $a\in A\setminus 0,b<1,c\in A^{c}$ כך ש$x={\frac {ab}{c}}$. מכיוון ש$a<c$, נקבל $x=b\cdot {\frac {a}{c}}<b<1$, לכן $x\in 1$.

• דיסטריבוטיביות: נראה זאת עבור $A\geq 0\land B+C\geq 0$: על פי ההגדרה, $A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus 0\land y\in B\land z\in C\land y+z\geq 0\}\cup 0=(\{xy|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0)+(\{xz|x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0\}\cup 0)=AB+AC$.

נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה, $A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B$, הוא אכן יחס סדר חלש: מכיוון שהיחס $\subseteq$ הוא יחס סדר חלקי חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו $A,B\in \mathbb {R}$, ונניח כי $A\not \subseteq B$, כלומר קיים $a\in A$ כך ש$a\not \in B$. יהי $x\in B$. לא ייתכן כי $x\geq a$, כי אז יתקיים $a\in B$. לכן $x<a$, ומכיוון שA חתך נקבל $x\in A$. לכן $B\subseteq A$. נראה כי השדה הוא שדה סדור:

• איזוטוניות ביחס לחיבור: $A\leq B\Rightarrow \forall x\in A:x\in B\Rightarrow \forall x\in A\land y\in C:x\in B\land y\in C\Rightarrow \forall z=x+y\in A+C,z\in B+C\Rightarrow A+C\leq B+C$.
• איזוטוניות ביחס לכפל: יהי $C\geq 0$, ונניח כי $0\leq A\leq B$. לכן $0\subseteq A\subseteq B\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0,x\in B\setminus 0\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0,x\in B\setminus 0\land z\in C\setminus 0\Rightarrow \forall z=xy\in AC,z\in BC\Rightarrow AC\leq BC$.

נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי $S\subseteq \mathbb {R}$ קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר $M=\bigcup _{A\in S}A$. נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:

• $S\not =\emptyset \Rightarrow \exists A\in S\Rightarrow A\subseteq M$. מכיוון שA לא ריקה, גם M לא ריקה. מכיוון ש$S$ חסומה, קיים $N$ כך שלכל $A\in S$ מתקיים $A\leq N$, כלומר $A\subseteq N$. לכן $M\subseteq N\subset \mathbb {Q}$.
• יהי $x\in M$, ויהי $y<x$. אז קיים $A\in S$ כך ש$x\in A$. לכן $y\in A$, כלומר $y\in M$.
• יהי $x\in M$. אז קיים $A\in S$ כך ש$x\in A$. מכיוון שA חתך, קיים $y>x$ כך ש$y\in A$. לכן $y\in M$.

נראה כי חתך זה הוא הסופרמום של הקבוצה S: $\forall A\in S,A\subseteq \bigcup _{B\in S}B\Rightarrow \forall A\in S,A\leq M$. לכן M הוא חסם מלעיל. יהי $N$ חסם מלעיל של $S$. יהי $x\in M$. קיים $A\in S$ כך ש$x\in A$. מכיוון ש$A\subseteq N$, נקבל $x\in N$. לכן $M\leq N$. לכן $M$ הוא החסם העליון הקטן ביותר של $S$.

קוואזי-הומומורפיזמים של חוג השלמים

כל מספר ממשי $\alpha \in \mathbb {R}$ ניתן לייצג על ידי קירוב רציונלי על פי $\lim _{n\to \infty }{\frac {\lfloor n\alpha \rfloor }{n}}=\alpha$. מספיק לדבר על הפונקציה $f(n)=\lfloor n\alpha \rfloor$. תכונה מעניינת של פונקציה זו היא שמתקיים $f(n+m)\approx f(n)+f(m)$, במובן שיתואר להלן. אם נדבר על אוסף כל הפונקציות המקיימות תכונה זו, נראה שניתן לייצג כל מספר ממשי באמצעות כמה פונקציות כאלו.

בניה זו מדלגת על הרציונלים, ומגדירה את הממשיים הישר מתוך חוג המספרים השלמים.

נאמר כי פונקציה $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ היא קוואזי-הומומורפיזם, אם קיים $k\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n,m\in \mathbb {Z}$ מתקיים $|f(m+n)-f(m)-f(n)|\leq k$. הקבוע $k$ יכונה קבוע-האדיטיביות של $f$.

ניתן להוכיח באינדוקציה כי מתקיים $|f(mn)-mf(n)|\leq (|m|+1)k$, ולכן גם $|mf(n)-nf(m)|\leq (|m|+|n|+2)k$ (מתכונה זו נובע כי $\left\{{\frac {f(n)}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ היא סדרת קושי, המתכנסת להפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} . ניתן לראות כאן דמיון לבנייה של קנטור).

את קבוצת כל הקוואזי-הימומורפיזמים בחוג השלמים נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{qh}(\Z,\Z)} . נגדיר יחס שקילות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{qh}(\Z,\Z)} : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n)\sim g(n)} אם ורק אם קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\in\N} כך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(n)-g(n)|\le k} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\Z} (למעשה, אם נחזור לדבר על סדרות הקושי, המשמעות היא שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{\frac{f(n)}{n}\right\}^\infty_{n=1}\sim\left\{\frac{g(n)}{n}\right\}^\infty_{n=1}} במובן שתואר בבנייה של קנטור). נראה כי זהו אכן יחס שקילות:

• רפלקסיביות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall n\in\Z,|f(n)-f(n)|=0\le0}
• סימטריה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall n\in\Z,|f(n)-g(n)|\le k\Rightarrow \forall n\in\Z,|g(n)-f(n)|\le k}
• טרנזיטיביות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall n\in\Z,|f(n)-g(n)|\le k_1\land |g(n)-h(n)|\le k_2\Rightarrow \forall n\in\Z,|f(n)-h(n)|\le|f(n)-g(n)|+|g(n)-h(n)|\le k_1+k_2}

את קבוצת המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{qu}(\Z,\Z)/\sim} נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} - יצרנו את קבוצת הממשיים. לכל מספר רציונלי q אפשר להתאים את המחלקה של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \, f_q(n) = \lfloor qn \rfloor} ; זהו אכן קוואזי-הומומורפיזם. במקרה של מספר שלם מתקבלת הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_m(n)=mn} .

נגדיר פעולות על הקבוצה:

• חיבור: החיבור הרגיל של פונקציות, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f+g)(n)=f(n)+g(n)} . נחבר מחלקות שקילות באמצעות חיבור נציגים.
• כפל: הרכבת פונקציית, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f\cdot g)(n)=(f\circ g)(n)=f(g(n))} . נכפול מחלקות שקילות באמצעות כפל נציגים.

נראה כי ההגדרות לא תלויות בנציגים: יהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\sim h,g\sim p} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_1} מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(n)-h(n)|\le k_1} , והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_2} מקיים את התכונה לגבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g,p} .

• חיבור: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(n)+g(n)-h(n)-p(n)|\le k_1+k_2} , לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f+g\sim h+p} .
• כפל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(g(n))-h(p(n))=f(g(n)-p(n)+p(n))-h(p(n))} . מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(n)-p(n)\le k_2} , לכן הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(g(n)-p(n)+p(n))} חסום בסביבה כלשהי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(p(n))} , כלומר קיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k',k''} כך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(p(n))+k'\le f(g(n)-p(n)+p(n))\le f(p(n))+k''} . לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_2+k'\le f(g(n)-p(n)+p(n))-f(p(n))+f(p(n))-h(p(n))=f(g(n))-h(p(n))\le k_2+k''} . כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(g(n))-h(p(n))|\le K} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\in\Z} כלשהו.

נראה כי הפעולות הפוכות את הקבוצה לשדה:

• תכונות החיבור:

1. סגירות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(n+m)-f(n)-f(m)|\le k_1\land |g(n+m)-g(n)-g(m)|\le k_2\Rightarrow|(f+g)(n+m)-(f+g)(n)-(f+g)(m)|\le k_1+k_2} .
2. תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס והאיבר הנגדי נובעות מידית מקיום תכונות אלו בחוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} , כאשר מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0(n)=0} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0=[0]} , וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-f)(n)=-f(n)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -[f]=[-f]} .

• תכונות הכפל:

1. סגירות: נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_f(m,n)=f(m+n)-f(m)-f(n)} . כעת מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}f(g(m+n))-f(g(m))-f(g(n))&=f(g(m)+g(n)+d_g(m,n))-f(g(m))-f(g(n))\\&=f(g(n)+d_g(m,n))+d_f(g(m),g(n)+d_g(m,n))-f(g(n))\\&=f(d_g(m,n))+d_f(g(n),d_g(m,n))+d_f(g(m),g(n)+d_g(m,n))\end{align}} . מכיוון שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_f,d_g} הם פונקציות חסומות, והפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} חסומה על קבוצה סופית (כי תמונת קבוצה סופית היא סופית, ובפרט חסומה), הביטוי כולו חסום.
2. תכונות האסוציאטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו לכל קבוצה של פונקציות, כאשר מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1=[I]} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} היא פונקציית הזהות בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} )
3. קומוטטיביות: אם נציב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=g(n)} באי-שוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |nf(m)-mf(n)|\le(|m|+|n|+2)k} , נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n(fg)(n)-f(n)g(n)|\le(|n|+|g(n)|+2)k_1} , ולכן גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n(gf)(n)-f(n)g(n)|\le(|n|+|f(n)|+2)k} . לכן מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n|\cdot|(fg)(n)-(gf)(n)|\le(2|n|+|f(n)|+|g(n)|+4)k} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\max\{k_1,k_2\}} . נשים לב שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(n)|\le|f(n\cdot1)-n\cdot f(1)|+|n||f(1)|\le(|n|+1)k+|n||f(1)|\le|n|(2k+|f(1)|):=k'|n|} , לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n|\cdot|(fg)(n)-(gf)(n)|\le(2|n|+|n|k'+|n|k'+4)k\le|n|(6+2k')k:=k''|n|} , לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |(fg)(n)-(gf)(n)|\le k''} . בכל זאת הנחנו כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\le 4|n|} , מה שמתקיים רק עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\not=0} . לכן נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=\max\{k'',|(fg)(0)-(gf)(0)|\}} , ונקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |(fg)(n)-(gf)(n)|\le K} . קיבלנו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle fg\sim gf} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [f][g]=[g][f]} .

לפני שניגש להוכיח את תכונת ההפיכות, נגדיר חיוביות של קוואזי-הומומורפיזם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} חיובית אם"ם קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\in\Z} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\N} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n)\ge k} . ברור שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} חיובית והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\sim f} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} חיובית (במובן של סדרות קושי, המשמעות היא שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n}\ge0} , מה שמסתדר מצוין עם העובדה שהסדרה מתכנסת למספר אותו הפונקציה מייצגת). לכן ניתן לדבר על חיוביות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [f]} , כחיוביות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . נראה כי אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} לא חיובית, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -f} חיובית: כל קוואזי-הומומורפיזם שקול לקוואזי-הומומורפיזם המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=0} , לכן מספיק להוכיח רק לגבי אלו המקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=0} : נניח בשלילה שגם f וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -f} לא חיוביות. אז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\in\N} כך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(r)>k} , וקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} כך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -f(s)>k} , כלומר $f(s)<-k$. f קוואזי הומומורפיזם, לכן קיים $k\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n,m\in \mathbb {Z}$ מתקיים $|f(n+m)-f(n)-f(m)|\leq k$. יהי $r$ המספר הטבעי המינימלי שעבורו $f(r)>k$, ויהי $s\in \mathbb {N}$ המספר הטבעי המינימלי שעבורו $f(s)<-k$. בבירור $r,s>0$, וכן $r\not =s$. אם $r>s$, אז $0<r-s<r$, ומהמינימליות של r נקבל $f(s-r)\leq k$, ולכן $f(r)-f(r-s)-f(s)>k-k+k=k$, בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. אם $s>r$, אז $0<s-r<s$, ומהמינימליות של s נקבל $f(r-s)\geq -k$, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(s)-f(s-r)-f(r)<-k+k-k=-k} , שוב בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. לכן תמיד אם $f$ לא חיובית, $-f$ חיובית.

1. קיום איבר הופכי: אם $[f]\not =0$ חיובית, נגדיר $g(n)=\min\{m\in \mathbb {N} |f(m)\geq n\}$. נראה שמתקיים $[f][g]=1$: $f(g(n))\geq n$, לכן $f(g(n))-n\geq 0$. מכיוון שf היא קוואזי-הומומורפיזם, נקבל $f(g(n))-f(g(n)-1)-f(1)\leq k$. מכיוון ש$f(g(n)-1)>n$ (על פי ההגדרה), נקבל $f(g(n))-n\leq k+f(1)$. קיבלנו $0\leq f(g(n))-n\leq k+f(1)$, לכן קיים $K\in \mathbb {N}$ כך ש$|f(g(n))-I(n)|\leq K$. קיבלנו $fg\sim I$. לכן $g=f^{-1}$. אם $f$ לא חיובית, נגדיר $[f]^{-1}=-[-f]^{-1}$.

• דיסטריבוטיביות: $|f(g(n)+h(n))-f(g(n))-f(h(n))|\leq k$, לכן $|(f(g+h))(n)-(fg+fh)(n)|\leq k$, כלומר $f(g+h)\sim fg+fh$.

נגדיר יחס סדר על השדה: $[f]\leq [g]$ אם ורק אם $g-f$ חיובית. נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים: נניח כי $|f(n)-h(n)|\leq k_{1}\ \ ,\ \ |g(n)-p(n)|\leq k_{2}\ \ ,\ \ g(n)-f(n)\geq k_{3}$. אז מתקיים $p(n)-h(n)=p(n)-g(n)+g(n)-h(n)\geq -|p(n)-g(n)|+g(n)-f(n)+f(n)-h(n)\geq -k_{2}+k_{3}-|f(n)-h(n)|\geq -k_{2}+k_{3}-k_{1}$. מעתה נוכל לדבר פשוט על $f\leq g$, במקום $[f]\leq [g]$.

נראה כי זהו אכן יחס סדר מלא חלש:

• רפלקסיביות: $f(n)-f(n)=0\geq 0$, לכן $f\leq f$.
• אנטי-סימטריה: עלינו להראות כי אם $f-g,g-f$ חיוביות, אז $f\sim g$. מספיק שנראה כי אם $f,-f$ חיוביות, אז $f\sim 0$. נניח כי $f(n)\geq k_{1}\ \ ,\ \ -f(n)\geq k_{2}$ לכל $n\in \mathbb {N}$. אז מתקיים $-k_{2}\leq f(n)\leq k_{1}$, ואם נסמן $k'=\max\{|k_{1}|,|k_{2}|\}$, נקבל $|f(n)|\leq k$ לכל $n\in \mathbb {N}$. כעת עלינו להראות כי קיים $k''$ כך ש$|f(-n)|\leq k''$ לכל $n\in \mathbb {N}$, ואז על ידי סימון $K=\max\{k',k''\}$ נקבל $|f(n)-0|\leq K$ לכל $n\in \mathbb {Z}$. קיים $k\in \mathbb {Z}$ כך ש$|f(m+n)-f(m)-f(n)|\leq k$, לכן $|f(-n)|\leq |f(-n)+f(n)-f(0)|+|f(n)|+|f(0)|\leq k+k'+|f(0)|:=k''$.
• טרנזיטיביות: נניח כי $g(n)-f(n)\geq k_{1}\ \ ,\ \ h(n)-g(n)\geq k_{2}$ לכל $n\in \mathbb {N}$. אז לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $h(n)-f(n)=h(n)-g(n)+g(n)-f(n)\geq k_{1}+k_{2}$, לכן $f\leq h$.

נראה כי השדה הוא שדה סדור:

• איזוטוניות ביחס לחיבור: אם $g-f$ חיובית, אז גם $(g+h)-(f+h)=g-f$ חיובית, כלומר $f+h\leq g+h$.
• איזוטוניות ביחס לכפל: מספיק שנראה כי אם $f,g$ חיוביות, אז $fg$ חיובית. נניח כי $f(n)\geq k_{1}\ \ ,\ \ g(n)\geq k_{2}$ לכל $n\in \mathbb {N}$. אם נגדיר $h(n)=g(n)-k_{2}$ נקבל ש$h\sim g$, לכן מספיק שנראה כי $fh$ חיובית. לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $h(n)=g(n)-k_{2}\geq 0$, כלומר $h(n)\in \mathbb {N}$, לכן $(fh)(n)=f(h(n))\geq k_{1}$.

לפני שנוכיח את שלמות השדה, נוכיח כי ניתן להגדיר את פונקציית הערך השלם על $\mathbb {R}$: יהי $[f]\in \mathbb {R}$ כאשר קבוע האדיטיביות של f הוא k. מתקיים $|1\cdot f(n)-n\cdot f(1)|\leq 2k$, כלומר $|f(n)|\leq 2k+|n||f(1)|\leq (2k+|f(1)|)|n|:=m|n|$. קיבלנו כי $-mn\leq f(n)\leq mn$ לכל $n\in \mathbb {N}$, כלומר $-m\leq [f]\leq m$ (במילים אחרות, $\mathbb {R}$ ארכימדי). קיבלנו כי הקבוצה $A:=\{n\in \mathbb {Z} |-m\leq n\leq [f]\}$ חסומה ולא ריקה, לכן ניתן להגדיר $\lfloor [f]\rfloor =\max A$. קל לראות שמתקיימות כל תכונות פונקציית הערך השלם. כעת נוכיח כי השדה הוא שלם: תהי $S\subseteq \mathbb {R}$ תת-קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל על ידי $X$. אם ל$S$ יש מקסימום, אז הוא האינפימום שלה. לכן נניח שלכל $x\in S$ קיים $y\in S$ כך ש$x<y$. נגדיר $f(n)={\begin{cases}\max\{\lfloor nx\rfloor |x\in S\}&n\geq 0\\-f(-n)&\mathrm {else} \end{cases}}$.

נראה כי f היא קוואזי-הומומורפיזם: לכל $n\in \mathbb {N}$ קיים $x_{n}\in S$ כך ש$f(n)=\lfloor nx_{n}\rfloor$, ואז לכל $x\in S$ מתקיים $\lfloor nx\rfloor \leq \lfloor nx_{n}\rfloor$. יהו $m,n\in \mathbb {N}$, ונגדיר $x=\max\{x_{n},x_{m},x_{n+m}\}$. מתקיים $\lfloor nx_{n}\rfloor =\lfloor nx\rfloor \ ,\ \lfloor mx_{m}\rfloor =\lfloor mx\rfloor \ ,\ \lfloor (n+m)x_{n+m}\rfloor =\lfloor nx+mx\rfloor$, כלומר $f(n+m)-f(n)-f(m)=\lfloor nx+mx\rfloor -\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor$. מתקיים $0\leq nx-\lfloor nx\rfloor <1\ ,\ 0\leq mx-\lfloor mx\rfloor <1$, לכן $0\leq nx+mx-\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor <2$. אם נפעיל את פונקציית הערך השלם על אי-השוויון, נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\le \lfloor nx+mx\rfloor-\lfloor nx\rfloor-\lfloor mx\rfloor<2} , כלומר $0\leq f(n+m)-f(n)-f(m)<2$. אם $m,n<0$, נקבל $|f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(-m)+f(-n)-f(-m-n)|\leq 2$. במקרה השלישי נוכל להניח כי $m\geq 0,n<0$. אם $m+n\leq 0$, נגדיר $a=m\ ,\ b=-m-n$. אם $m+n>0$, נגדיר $a=n+m\ ,\ b=-n$. בשני המקרים מתקיים $a,b\geq 0$, וכן $|f(m+n)-f(m)-f(n)|=|-f(b)-f(a)+f(a+b)|\leq 2$ במקרה הראשון, ו$|f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(a)-f(a+b)+f(b)|\leq 2$.

נגדיר $s=[f]$. נוכיח כי s הוא סופרמום: יהי $x\in S$. הנחנו כי לקבוצה S אין מקסימום, לכן יהי $x<y\in S$. קל להשתכנע ש-$\mathbb {Q}$ צפופה ב-$\mathbb {R}$, לכן קיימים $M\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N}$ כך ש$x<{\frac {M}{N}}<y$. לכל n טבעי מתקיים $f(Nn)=\max\{\lfloor Nnx\rfloor |x\in S\}\geq \lfloor Nny\rfloor \geq \lfloor Nn{\frac {M}{N}}\rfloor =\lfloor Mn\rfloor =Mn$. נובע מכך בקלות ש$sN=[f]N=[n\mapsto f(Nn)]\geq [n\mapsto Mn]=M$, לכן $s\geq {\frac {M}{N}}>x$, כלומר $s$ חסם מלעיל של $S$.

כעת יהי $y$ חסם מלעיל, ונניח בשלילה ש$y<s$: שוב קיימים $M\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N}$ כך ש$y<{\frac {M}{N}}<s$, כלומר $Ny<M<Ns$. מתקיים $(sN)(n)=f(Nn)$, וכן $M(n)=Mn$, לכן מכך ש$M<sN$ נקבל שעבור אינסוף ערכי $n$ טבעיים, מתקיים $f(Nn)>Mn$. מצד שני, מתקיים $f(Nn)=\lfloor Nnx\rfloor$ עבור $x\in S$ כלשהו. מכיוון ש$Nnx\leq nNy<nM$, נקבל $f(nN)=\lfloor Nnx\rfloor \leq \lfloor Mn\rfloor =Nn$, בסתירה לכך ש$f(Nn)>Mn$. לכן $s=\sup S$.

בניות נוספות

• שדה המספרים הסוריאליסטיים מכיל עותק של כל שדה סדור. מכך נובע שיש בו גם עותק של הממשיים. למעשה, ניתן להגדיר את שדה המספרים הממשיים כתת-השדה הארימדי המקסימלי של שדה המספרים הסוריאליסטיים.
• כל מספר ממשי ניתן לייצג באמצעות שבר משולב אינסופי. כך, אם השבר המשולב המייצג מספר ממשי $\alpha \in \mathbb {R}$ הוא $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}}$, נוכל להגדיר את המספר $\alpha$ להיות הסדרה $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...)$. לכן $\mathbb {R}$ תוכל להיות מוגדרת כאוסף האיברים $\alpha \in \mathbb {Z} \times (\mathbb {N} ^{+})^{\mathbb {N} }$, כאשר $\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} \cup \{\omega \}$, המקיימים שאם $n<m$ ו$\alpha _{n}=\omega$, אז $a_{m}=\omega$. (הרעיון הוא שנגדיר ${\frac {a}{\omega }}=0$ לכל $a\in \mathbb {Z}$, ולכן גם שבר משולב סופי המייצג מספר רציונלי יוכל להפוך לשבר אינסופי, שמנקודה כלשהי והלאה כל האיברים בו הם $\omega$)
• בעיה נוספת של שדה הרציונליים היא שהוא אינו מקיים את משפט החיתוך של קנטור, כלומר קיימות סדרות יורדות של קטעים לא ריקים $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$ המקיימות $\lim _{n\to \infty }|b_{n}-a_{n}|=0$, אך למרות זאת $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }[a_{n},b_{n}]=\emptyset$. ניתן להגדיר את הממשיים כאוסף כל הסדרות האלו, תחת יחס שקילות מתאים.

שקילות

כל שני מודלים של המספרים הממשיים (כלומר קבוצה עם פעולות וסדר המקיימת את האקסיומות לעיל) הם איזומורפיים, כלומר אם $(\mathbb {R} _{1},+_{1},\cdot _{1},\leq _{1}),(\mathbb {R} _{2},+_{2},\cdot _{2},\leq _{2})$ הם מודלים של המערכת, אז קיימת פונקציה $f:\mathbb {R} _{1}\to \mathbb {R} _{2}$ חד חד ערכית ועל כך שמתקיים:

• $f(x+_{1}y)=f(x)+_{2}f(y)$
• $f(x\cdot _{1}y)=f(x)\cdot _{2}f(y)$
• $x\leq _{1}y\Leftrightarrow f(x)\leq _{2}f(y)$

פונקציה מסוג זה נקראת איזומורפיזם.

הוכחה

נקדים במעט תכונות הנכונות לכל מודל $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$ של המערכת:

בהינתן $A,B\subseteq \mathbb {R}$, נגדיר $A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}$. אז מתקיים $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$: נסמן $s_{A}=\sup A,s_{B}=\sup B$. אז לכל $x\in A,y\in B$ מתקיים $x\leq s_{A},y\leq s_{B}$, לכן $x+y\leq s_{A}+s_{B}$, כלומר $s_{A}+s_{B}$ חסם מלעיל של $A+B$. כעת נראה כי הוא החסם מלעיל הקטן ביותר: נניח בשלילה ש$M<s_{A}+s_{B}$ הוא חסם מלעיל. נגדיר $\varepsilon =s_{A}+s_{B}-M>0$. אז $M=s_{A}+s_{B}-\varepsilon$. מתקיים $s_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}<s_{A}$, לכן $s_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}$ אינו חסם מלעיל של $A$, כלומר קיים $x\in A$ כך ש$s_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}<x$. באותה דרך קיים $y\in B$ כך ש$s_{B}-{\frac {\varepsilon }{2}}<y$. לכן $x+y>s_{A}+s_{B}-\varepsilon =M$, בסתירה לכך ש$M$ חסם מלעיל של $A+B$. לכן $\sup(A+B)=s_{A}+s_{B}=\sup A+\sup B$.

השדה $\mathbb {R}$ הוא ארכימדי, כלומר לכל $x\in \mathbb {R}$ קיים $n\in \mathbb {N}$ כך ש $n>x$. נראה זאת: נניח בשלילה שקיים $X\in \mathbb {R}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $n\leq X$. אז הקבוצה $\mathbb {N}$ חסומה מלעיל על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , ולכן על פי תכונת השלמות (האקסיומה האחרונה) יש לה סופרמום, שיסומן $s$. לכן לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $n\leq s$ ומכך ש$n+1\in \mathbb {N}$ נקבל גם $n+1\leq s$, כלומר $n\leq s-1$. כלומר $s-1$ הוא חסם מלעיל של $\mathbb {N}$. מהגדרת הסופרמום כחסם מלעיל הקטן ביותר נקבל $s\leq s-1$. מתכונות הסדר נוכל לחסר $s$ ולקבל $0\leq -1$. לכן ניתן לכפול ב$-1$ מבלי לשנות את הסדר (כפל במספר חיובי הוא שומר סדר, ראו באקסיומות), ונקבל $0=0\cdot -1\leq -1\cdot -1=1$, ואם נחסר $1$ משני אגפי המשוואה נקבל $-1\leq 0$. היחס $\leq$ הוא יחס סדר חזק, לכן $0=-1$, ולכן $1=0$, בסתירה לכך שבהגדרת השדה דורשים $0\neq 1$.

כעת נגדיר את פונקציית הערך השלם על $\mathbb {R}$. למעשה ניתן להגדיר באותה דרך על כל שדה ארכימדי $(\mathbb {A} ,+,\cdot ,\leq )$: יהי $x\in \mathbb {A}$. מתכונות הארכימדיות נובע כי קיים $n\in \mathbb {N}$ כך ש$|x|<n$ (כאשר $|x|=\max\{x,-x\}$), כלומר $-n<x<n$. לכן הקבוצה $\{m\in \mathbb {Z} |-n\leq m\leq x\}$ חסומה מלעיל על ידי $n$ ומלרע על ידי $-n$, וכקבוצה חסומה של מספרים שלמים, היא סופית. לכן יש לה מקסימום, שיסומן $\lfloor x\rfloor$. זהו המספר השלם המקסימלי שאינו גדול מx. (כי כל איבר בקבוצה $\{m\in \mathbb {Z} |m\leq x\}$ הוא בקבוצה $\{m\in \mathbb {Z} |-n\leq m\leq x\}$, או קטן מ$-n$, ובשני המקרים מתקיים $n\leq \lfloor x\rfloor$). נשים לב שמתקיים $\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$ (החלק השמאלי נובע ממהגדרה, והימני מכך שאם $\lfloor x\rfloor +1\leq x$, אז $\lfloor x\rfloor +1\in \{n\in \mathbb {Z} |n\leq x\}$, ולכן $\lfloor x\rfloor +1\leq \lfloor x\rfloor$).

כעת נראה כי $\mathbb {Q}$ צפופה ב$\mathbb {R}$. גם תכונה זו נכונה לכל שדה ארכימדי $\mathbb {A}$: יהו $x,y\in \mathbb {A} ,x<y$. אז מתקיים $y-x>0$. מהארכימדיות קיים $n\in \mathbb {N}$ כך ש${\frac {1}{y-x}}<n$, כלומר $ny-nx>1$, או במילים אחרות $nx+1<ny$. נגדיר $m=\lfloor nx\rfloor +1$. אז מתקיים $m>nx$, וכן $m=\lfloor nx\rfloor +1\leq nx+1<ny$, כלומר $nx<m<ny$, ולכן $x<{\frac {m}{n}}<y$.

לכל מודל $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$ ולכל תת-קבוצה חסומה ולא ריקה $\emptyset \neq S\subseteq \mathbb {R}$, נסמן ב$\sup _{\mathbb {R} }S$ את הסופרמום של $S$ ב$\mathbb {R}$ (שקיים על פי אקסיומת השלמות). בנוסף, לכל $x\in \mathbb {R}$ נסמן $C_{x}=\{q\in \mathbb {Q} |q<x\}$. נשים לב שקבוצה זו תמיד חסומה (על ידי x) ולא ריקה.

כעת ניגש להוכיח את השקילות בין שני מודלים $(\mathbb {R} _{1},+_{1},\cdot _{1},\leq _{1}),(\mathbb {R} _{2},+_{2},\cdot _{2},\leq _{2})$: נגדיר $f:\mathbb {R} _{1}\to \mathbb {R} _{2}$ על פי $f(x)=\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}$. נראה כי זו פונקציה חד-חד-ערכית ועל: נגדיר $g:\mathbb {R} _{2}\to \mathbb {R} _{1}$ על פי $g(x)=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{x}$. נראה שמתקיים $g\circ f=I_{\mathbb {R} _{1}},f\circ g=I_{\mathbb {R} _{2}}$: לכל $x\in \mathbb {R} _{1}$ מתקיים $g(f(x))=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{f(x)}=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}$. לכל $q\in C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}$ מתקיים $q<_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}$, כלומר $q$ אינו חסם מלעיל של $C_{x}$, ולכן קיים $p\in C_{x}$ כך ש$q<p$. מההגדרה של $C_{x}$ נקבל $p<_{1}x$, ולכן $q<_{1}p<_{1}x$, כלומר $q<_{1}x$. לכן $x$ חסם מלעיל של $C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}$. כעת נראה שהוא חסם עליון: נניח בשלילה כי $y<_{1}x$ הוא חסם של $C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}$. אז מהצפיפות של $\mathbb {Q}$ ב$\mathbb {R} _{1}$ נקבל שקיים $q\in \mathbb {Q}$ כך ש$y<_{1}q<_{1}x$. מכך ש$q<_{1}x$ נקבל $q\in C_{x}$, לכן $q<_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}$, כלומר $q\in C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}$, ומכיוון ש$y$ הוא חסם מלעיל של $C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}$, נקבל $q\leq _{1}y$, בסתירה לכך ש$y<_{1}q$. לכן $x=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}=g(f(x))$. באותה דרך מתקיים $f(g(x))=x$ לכל $x\in \mathbb {R} _{2}$. לכן $g\circ f=I_{\mathbb {R} _{1}},f\circ g=I_{\mathbb {R} _{2}}$, כלומר $g=f^{-1}$, ובפרט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} פונקציה הפיכה, ולכן חד-חד-ערכית ועל.

כדי להראות כי $f(x+_{1}y)=f(x)+_{2}f(y)$, נוכיח קודם כל כי בכל מודל $\mathbb {R}$ מתקיים $C_{x+y}=C_{x}+C_{y}:=\{p+q|p\in C_{x}\land q\in C_{y}\}$: יהי $p+q\in C_{x}+C_{y}$. אז $p<x,q<y$. לכן $p+q<x+y$, כלומר $p+q\in C_{x+y}$. יהי $q\in C_{x+y}$. אז $x+y-q>0$, ומצפיפות הרציונליים בממשיים נקבל שקיים $p\in \mathbb {Q}$ כך ש-$0<p<x+y-q$. בפרט $p>0$, כלומר $x-p<x$, לכן קיים $r\in \mathbb {Q}$ כך ש-$x-p<r<x$. נגדיר $s=q-r$. אז $s=q-r<q+p-x<q+(x+y-q)-x=y$, וכן $q=q-r+r=s+r$, לכן $q\in C_{x}+C_{y}$. לכן מתקיים $f(x+_{1}y)=\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x+_{1}y}=\sup _{\mathbb {R} _{2}}(C_{x}+C_{y})=\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}+_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{y}=f(x)+_{2}f(y)$.

כעת נראה כי $f(x\cdot _{1}y)=f(x)\cdot _{2}f(y)$: לכל מודל $\mathbb {R}$ ולכל $x\geq 0$, נסמן $P_{x}=C_{x}\setminus C_{0}$. קל לראות כי $\sup P_{x}=\sup C_{x}$. כעת לכל $x,y\geq 0$, נראה כי מתקיים $P_{xy}=P_{x}P_{y}:=\{pq|p\in P_{x}\land q\in P_{y}\}$. אם $pq\in P_{x}P_{y}$, אז $0\leq p<x,0\leq q<y$, לכן $0\leq pq<xy$. כלומר $P_{x}P_{y}\subseteq P_{xy}$. אם $0\leq p<xy$, אז $0\leq p<xy$, לכן ${\frac {p}{y}}<x$, ומצפיפות הרציונלים נקבל שקיים $q\in \mathbb {Q}$ כך ש${\frac {p}{y}}<q<x$. נגדיר $r={\frac {p}{q}}$. אז $r<{\frac {p}{p/y}}=y$, וכן $q<x$, וגם $p=q{\frac {p}{q}}=qr$, לכן $p\in P_{x}P_{y}$. כלומר $P_{xy}=P_{x}P_{y}$. יהי $pq\in P_{xy}$. אז $p\in P_{x},q\in P_{y}$, לכן $p\leq _{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}P_{x}=f(x),q\leq _{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}P_{y}=f(y)$, כלומר $pq\leq _{2}f(x)\cdot _{2}f(y)$. לכן $f(x)\cdot _{2}f(y)$ חסם מלעיל של $P_{xy}$. כעת יהי $0\leq _{2}s<_{2}f(x)\cdot _{2}f(y)$. אז ${\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{s}}>_{2}1$, לכן $s':={\sqrt {\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{2}}}>_{2}1$, כלומר ${\frac {f(x)}{s'}}<_{2}f(x),{\frac {f(y)}{s'}}<_{2}f(y)$, לכן ${\frac {f(x)}{s'}},{\frac {f(y)}{s'}}$ שניהם אינם חסמים מלעיל של $P_{x},P_{y}$ בהתאמה, לכן קיימים $p\in P_{x},q\in P_{y}$ כך ש${\frac {f(x)}{s'}}<_{2}p<_{2}f(x),{\frac {f(y)}{s'}}<_{2}q<_{2}f(y)$, לכן $s={\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{s}}}={\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{s'\cdot _{2}s'}}={\frac {f(x)}{s'}}\cdot _{2}{\frac {f(y)}{s'}}<pq$, כלומר $s$ אינו חסם עליון של $P_{xy}$ (כי $pq\in P_{x}P_{y}=P_{xy}$), לכן $f(x)\cdot _{2}f(y)$ הוא החסם מלעיל הקטן ביותר של $P_{xy}$, כלומר $f(x)\cdot _{2}f(y)=\sup _{\mathbb {R} _{2}}P_{xy}=f(x\cdot _{1}y)$. אם $x,y<0$, אז מתכונות בסיסיות של הומומורפיזמים של חבורות, נקבל $f(-x)=-f(x)$, לכן $f(x\cdot _{1}y)=f(-x\cdot _{1}-y)=f(-x)\cdot _{2}f(-y)=f(x)\cdot _{2}f(y)$. אם $x<0,y\geq 0$ (או ההפך, באותה דרך), נקבל $f(x\cdot _{1}y)=f(-(-x)\cdot _{1}y)=-f(-x\cdot _{1}y)=-f(-x)\cdot _{2}f(y)=f(x)\cdot _{2}f(y)$.

כעת נראה כי מתקיים $x\leq _{1}y\Leftrightarrow f(x)\leq _{2}f(y)$: מתכונת החד-חד-ערכית נקבל כי $x=y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$, לכן מספיק להוכיח כי $x<_{1}y\Leftrightarrow f(x)<_{2}f(y)$. נניח כי $x<_{1}y$. אז מהצפיפות נקבל שקיים $q\in \mathbb {Q}$ כך ש$x<_{1}q<_{1}y$. לכן $q\in C_{y}\setminus C_{x}$. כלומר $q<_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{y}=f(y)$. כעת נניח בשלילה $q<_{2}f(x)$. אז $q$ אינו חסם מלעיל של $C_{x}$, כלומר קיים $p<_{1}x$ כך ש$q<p$. לכן $q<_{1}x$, בסתירה להגדרת $q$. לכן $f(x)\leq _{2}q<_{2}f(y)$. כעת נניח כי $f(x)<_{2}f(y)$. נניח בשלילה $x\geq _{1}y$. אז מתקיימת אחת מהאפשרויות $x=y\ \ ,\ \ x>_{1}y$, כלומר $f(x)=f(y)\ \ ,\ \ f(x)>_{2}f(y)$, בסתירה לכך ש$f(x)<_{2}f(y)$. לכן $x<_{1}y$.

למעשה, בהינתן שדה ארכימדי $\mathbb {A}$, הפונקציה $f(x)=\sup _{\mathbb {R} }C_{x}$ היא שיכון של $\mathbb {A}$ לתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} .

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32034885בניית המספרים הממשיים