קריטריון אייזנשטיין

במתמטיקה, קריטריון איזנשטיין נותן תנאי מספיק לכך שפולינום בעל מקדמים שלמים הוא אי פריק מעל חוג השלמים $\ \mathbb {Z}$ (לפי למה של גאוס, פולינום כזה הוא גם אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים $\ \mathbb {Q}$ ). הקריטריון קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני פרדיננד אייזנשטיין.

נוסח המשפט

פולינום $\ f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ בעל מקדמים שלמים מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים מספר ראשוני $\ p$ כך ש-

$\ p$ מחלק את $\ a_{i}$ לכל $\ 0\leq i<n$ .
$\ p$ לא מחלק את $\ a_{n}$ .
$\ p^{2}$ לא מחלק את $\ a_{0}$ .

פולינום המקיים תנאי זה לא ניתן לפירוק מעל חוג המספרים הרציונליים (למעט הוצאת גורם משותף מן המקדמים). פולינומים המקיימים את תנאי איזנשטיין נקראים לפעמים פולינומי איזנשטיין.

באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל תחום שלמות $D$ מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים אידיאל ראשוני $P$ של $D$ , כך שכל מקדמי הפולינום פרט למוביל שייכים ל- $P$ , וכך שהמקדם החופשי אינו שייך לאידיאל $\ P^{2}$ . במקרה זה הפולינום אי פריק מעל $D$ (אם $D$ הוא תחום פריקות יחידה, אז הפולינום אי פריק מעל שדה השברים של $D$ , לפי הלמה של גאוס).

בשדה מקומי, כל הרחבה מסועפת לחלוטין מתקבלת מסיפוח שורש של פולינום איזנשטיין לשדה.

דוגמאות

1. יהי $\ p$ ראשוני, אזי $f(x)=x^{n}-p$ מקיים את קריטריון אייזנשטיין ולכן הוא אי-פריק.

2. הדרך הקלה להוכיח שהפולינום הציקלוטומי $\ f(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$ אי פריק כאשר $\ p$ ראשוני, היא להבחין ש- $\ f(x+1)$ מקיים את קריטריון איזנשטיין עבור $\ p$ .

3. נתבונן ב- $\ g(x)=3x^{4}+15x^{2}+10$ . הגורם המשותף של המקדמים 10 ו- 15 הוא ראשוני, 5. מכיוון ש-5 איננו מחלק את 3, המקדם המוביל ו- $\ 5^{2}=25$ איננו מחלק את 10, המקדם האחרון - הפולינום עונה על התנאי ולכן הוא אי פריק מעל השלמים.

4. יש פולינומים המקיימים את קריטריון אייזנשטיין אחרי הצבת הזזה $x=y+a$ , כאשר $\ a$ קבוע.

התבוננו לדוגמה בפולינום $\ h(x)=x^{2}+x+2$ . נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של $x$ . אבל, אם נציב $\ x+3$ , נקבל את הפולינום $\ h(x+3)=x^{2}+7x+14$ , אשר מקיים את הקריטריון עבור המספר הראשוני 7. כלומר, על ידי הזזת הפולינום הצלחנו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.

הוכחה

להלן ההוכחה למקרה של פולינום בעל מקדמים שלמים. ההוכחה לתחום שלמות כללי דומה. נתבונן ב- $\ f(x)$ כפולינום מודולו $\ p$ , כלומר נעתיק את המקדמים לשדה $\ \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב- $\ p$ נקבל את הפולינום $\ cx^{n}$ עם מקדם כלשהו שונה מאפס $\ c$ . נניח בשלילה שניתן לפרק את $\ f$ לשני פולינומים $\ g$ ו- $\ h$ שהמכפלה שלהם שווה ל- $\ f$ ונקבל ש- $\ h\equiv ax^{k}\,,g\equiv bx^{n-k}(\operatorname {mod} \,p)$ . מכאן, $\ p$ מחלק את המקדמים החופשיים של $\ h$ ושל $\ g$ ולכן, $\ p^{2}$ מחלק את המקדם החופשי של המכפלה בסתירה להנחה.