טור לורן

במתמטיקה, ובפרט באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא טור מהצורה $\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n}$ . כלומר - טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם מי שגילה אותו לראשונה, המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.

טור לורן מהווה הכללה של טור טיילור, וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של פונקציות מאשר באמצעות טור טיילור - בעיקר עוסקים בו לתיאור פונקציות מרוכבות. כל פונקציה אנליטית בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).

באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי (רגולרית או סינגולרית). אם הטור מפותח סביב הנקודה $\ c$ אז צורתו תהיה $\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ . הטור מתכנס בטבעת $r<\left\vert z-c\right\vert <R$ , כאשר רדיוס ההתכנסות הפנימי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} ורדיוס ההתכנסות החיצוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} נתונים ע"י:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=\limsup_{n \to \infty}|a_{-n}|^{1/n} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/R=\limsup_{n \to \infty}|a_{n}|^{1/n}}

נציין כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} יכול להיות אינסוף (כאשר $\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}=0$ ).

כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת סינגולריות מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:

אם אין כלל חזקות שליליות בפיתוח לורן (כלומר, זהו בעצם פיתוח טיילור) - הנקודה היא רגולרית או סינגולרית סליקה.
אם יש מספר סופי של חזקות שליליות, כשהשלילית ביותר היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -N} , הנקודה היא קוטב מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} .
אם יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי הוא 0, הנקודה היא נקודה סינגולרית עיקרית (ראו דוגמה 3 להלן). הערה: כאשר יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס התכנסות פנימי גדול מ-0, הפונקציה עשויה אף להיות רגולרית ב-c (כמו שניתן לראות בדוגמה 1 להלן).

החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי של הטור.

דוגמאות

נביט בפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{1-z}} : בעיגול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |z|<1} קיים לה פיתוח טיילור סביב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=0} : הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ {\frac {1}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}} (זהו טור הנדסי מתכנס). זהו למעשה טור לורן של הפונקציה בטבעת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<\left\vert z \right\vert<1} . אנו רוצים לראות כיצד ניתן לתאר את הפונקציה גם "מעבר" לעיגול הזה. נשים לב כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\cdot\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{z}\right)^n=-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{z^{n+1}}=-\sum_{n=-\infty}^{-1} z^n} . גם פיתוח זה התבסס על ההכרה שלנו את נוסחת הטור ההנדסי המתכנס. במקרה זה הפעלנו אותה על הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{1-\frac{1}{z}}} ולכן הפיתוח מתכנס בתחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left|\frac{1}{z}\right|<1} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1<\left\vert z \right\vert} . גם טור זה הוא טור לורן של הפונקציה סביב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=0} , רק בטבעת אחרת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1<\left\vert z \right\vert<\infty} , הטבעת של המישור כולו, פרט לעיגול היחידה. טור לורן של פונקציה זו סביב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=1} הוא פשוט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -(z-1)^{-1}} .
נתבונן בפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z) = \frac{\sin z}{z^2}} . ניעזר בטור טיילור של פונקציית הסינוס, ונקבל פיתוח לורן ל f סביב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=0} : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z) = \frac{\sin z}{z^2} = \frac{z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots }{z^2} = \frac{1}{z} -\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}-\frac{z^5}{7!} +\cdots}
הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(z)=e^{-1/z^{2}}} . נמצא את טור לורן שלה סביב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=0} באמצעות הטור הידוע של האקספוננט: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-1/z^2}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\,{z^{-2n}\over n!}} . ניתן להיווכח שהטור מתכנס בטבעת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<\left\vert z \right\vert<\infty} . בטור יש אינסוף חזקות שליליות וגם רדיוס ההתכנסות הפנימי הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} , ולפיכך נסיק כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=0} היא נקודה סינגולרית עיקרית. הערה: נשים לב כי עבור הפונקציה הממשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = e^{-1/x^2}} , הנק' $x=0$ היא נקודה סינגולרית סליקה (הגבול של הפונקציה ב-0 הוא 0). למעשה, אם נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0) = 0} נקבל פונקציה חלקה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} (גזירה אינסוף פעמים בכל מקום, כולל ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0} ), אך לא אנליטית ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0} , שכן טור טיילור שלה סביב נק' זו הוא 0 זהותית, ולא מזדהה עם הפונקציה בשום סביבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0} .