טור לורן

במתמטיקה, ובפרט באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא טור מהצורה $\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n}$ . כלומר - טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם מי שגילה אותו לראשונה, המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.

טור לורן מהווה הכללה של טור טיילור, וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של פונקציות מאשר באמצעות טור טיילור - בעיקר עוסקים בו לתיאור פונקציות מרוכבות. כל פונקציה אנליטית בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).

באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי (רגולרית או סינגולרית). אם הטור מפותח סביב הנקודה $\ c$ אז צורתו תהיה $\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ . הטור מתכנס בטבעת $r<\left\vert z-c\right\vert <R$ , כאשר רדיוס ההתכנסות הפנימי $r$ ורדיוס ההתכנסות החיצוני $R$ נתונים ע"י:

$r=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{1/n}$

$1/R=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$

נציין כי $R$ יכול להיות אינסוף (כאשר $\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}=0$ ).

כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת סינגולריות מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:

אם אין כלל חזקות שליליות בפיתוח לורן (כלומר, זהו בעצם פיתוח טיילור) - הנקודה היא רגולרית או סינגולרית סליקה.
אם יש מספר סופי של חזקות שליליות, כשהשלילית ביותר היא $-N$ , הנקודה היא קוטב מסדר $N$ .
אם יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי הוא 0, הנקודה היא נקודה סינגולרית עיקרית (ראו דוגמה 3 להלן). הערה: כאשר יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס התכנסות פנימי גדול מ-0, הפונקציה עשויה אף להיות רגולרית ב-c (כמו שניתן לראות בדוגמה 1 להלן).

החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי של הטור.

דוגמאות

נביט בפונקציה $\ {\frac {1}{1-z}}$ : בעיגול $\ |z|<1$ קיים לה פיתוח טיילור סביב $z=0$ : $\ {\frac {1}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ (זהו טור הנדסי מתכנס). זהו למעשה טור לורן של הפונקציה בטבעת $0<\left\vert z\right\vert <1$ . אנו רוצים לראות כיצד ניתן לתאר את הפונקציה גם "מעבר" לעיגול הזה. נשים לב כי $\ {\frac {1}{1-z}}=-{\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{z}}}}=-{\frac {1}{z}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{z}}\right)^{n}=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{n+1}}}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}z^{n}$ . גם פיתוח זה התבסס על ההכרה שלנו את נוסחת הטור ההנדסי המתכנס. במקרה זה הפעלנו אותה על הפונקציה $\ {\frac {1}{1-{\frac {1}{z}}}}$ ולכן הפיתוח מתכנס בתחום $\ \left|{\frac {1}{z}}\right|<1$ , כלומר $1<\left\vert z\right\vert$ . גם טור זה הוא טור לורן של הפונקציה סביב $z=0$ , רק בטבעת אחרת: $1<\left\vert z\right\vert <\infty$ , הטבעת של המישור כולו, פרט לעיגול היחידה. טור לורן של פונקציה זו סביב $z=1$ הוא פשוט $-(z-1)^{-1}$ .
נתבונן בפונקציה $f(z)={\frac {\sin z}{z^{2}}}$ . ניעזר בטור טיילור של פונקציית הסינוס, ונקבל פיתוח לורן ל f סביב $z=0$ : $f(z)={\frac {\sin z}{z^{2}}}={\frac {z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots }{z^{2}}}={\frac {1}{z}}-{\frac {z}{3!}}+{\frac {z^{3}}{5!}}-{\frac {z^{5}}{7!}}+\cdots$
$f(z)=e^{-1/z^{2}}$ . נמצא את טור לורן שלה סביב $z=0$ באמצעות הטור הידוע של האקספוננט: $e^{-1/z^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{z^{-2n} \over n!}$ . ניתן להיווכח שהטור מתכנס בטבעת $0<\left\vert z\right\vert <\infty$ . בטור יש אינסוף חזקות שליליות וגם רדיוס ההתכנסות הפנימי הוא $0$ , ולפיכך נסיק כי $z=0$ היא נקודה סינגולרית עיקרית. הערה: נשים לב כי עבור הפונקציה הממשית $f(x)=e^{-1/x^{2}}$ , הנק' $x=0$ היא נקודה סינגולרית סליקה (הגבול של הפונקציה ב-0 הוא 0). למעשה, אם נגדיר $f(0)=0$ נקבל פונקציה חלקה ב- $\mathbb {R}$ (גזירה אינסוף פעמים בכל מקום, כולל ב- $x=0$ ), אך לא אנליטית ב- $x=0$ , שכן טור טיילור שלה סביב נק' זו הוא 0 זהותית, ולא מזדהה עם הפונקציה בשום סביבה של $x=0$ .