תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים $ G' $ של חבורה $ G $ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה $ G/G' $ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של $ G $.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה $ g_{1}\cdot g_{2}\cdot \dots \cdot g_{n} $ שכך שיש תמורה $ \pi $ המקיימת $ g_{\pi (1)}\cdot g_{\pi (2)}\cdot \dots \cdot g_{\pi (n)}=e $ כאשר $ e $ הוא איבר היחידה בחבורה.

הגדרה

הקומוטטור של שני איברים $ g,h $ בחבורה $ G $ הוא האיבר $ [g,h]=ghg^{-1}h^{-1} $. תת-חבורת הקומוטטורים של $ G $ היא החבורה הנוצרת $ \langle [h,g]|h,g\in G\rangle $. את החבורה המתקבלת מסמנים $ G' $ או $ [G,G] $. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם $ A,B $ תת-חבורות נורמליות של $ G $, אז $ [A,B] $ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $ [a,b] $ עבור $ a\in A,b\in B $; זו תת-חבורה נורמלית גם של $ A $ וגם של $ B $.

תכונות

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $ G/G' $ היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית $ N $ של $ G $, המנה $ G/N $ אבלית אם ורק אם $ G'\subseteq N $. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה $ G/G' $ נקראת האבליזציה של $ G $.

מכיוון שהומומורפיזם $ f:G\to H $ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה $ f(G')\subset H' $. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-$ [A/N,B/N]=[A,B]N/N $ ובפרט $ (G/N)'=G'N/N $.

הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של $ G $, באינדוקציה: $ G^{(0)}:=G $, ולכל $ n $, $ G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}] $. בפרט מקצרים וכותבים $ G'=[G,G] $, $ G''=[G',G'] $ וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז $ G $ היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון $ G'=G $ נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $ S_{n} $ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $ A_{n} $, בעוד ש-$ A_{n} $ מושלמת לכל $ 5\leq n $ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים $ G_{n+1}=[G,G_{n}] $, כאשר $ G_{1}:=G $. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה $ \psi =x_{1} $, או נוסחה מהצורה $ \psi =[\psi ',\psi ''] $ כאשר $ \psi ',\psi '' $ הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות $ [G_{n},G_{n}]\subseteq \psi (G) $ (לכל חבורה $ G $), ואלו המקיימות $ \psi (G)\subseteq [G,G''] $; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $ \psi (G)=1 $, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $ \psi (G)=1 $, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות $ A,B,C $ של $ G $, מתקיים $ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]] $.

האורך בחבורת הקומוטטורים

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על $ \lceil \log _{4}|G'|\rceil $, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות $ A_{n} $. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס $ L_{r}(q) $, עבור $ q>8 $. בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.

ראו גם

• חבורה נילפוטנטית

קישורים חיצוניים

• תת-חבורת הקומוטטורים, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• תת-חבורת הקומוטטורים, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תת-חבורת הקומוטטורים30638456