אידיאל (אלגברה)

באלגברה, אידיאל הוא תת-קבוצה של חוג, המקיימת תנאים מסוימים. תנאים אלה מבטיחים שאפשר יהיה לבנות חוגי מנה, מהם ניתן לשאוב מידע על החוג המקורי. תפקידם של האידיאלים בתורת החוגים דומה לזה של תת החבורות הנורמליות בתורת החבורות.

המונח אידיאל מתייחס בדרך כלל לאידיאל דו צדדי, שהוא תת-קבוצה של החוג הסגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין או משמאל באיבר של החוג. דרישות אלה שקולות לכך שפעולות החיבור והכפל על קבוצת הקוסטים מוגדרות היטב, באופן המשרה מבנה של חוג מנה.

בחוגים לא קומוטטיביים, מגדירים באופן דומה גם אידיאל ימני ואידיאל שמאלי, הנקראים אידיאלים חד-צדדיים. אידיאל חד-צדדי הוא מודול (ימני או שמאלי) מעל החוג.

הגדרה פורמלית

יהא $R$ חוג. תת-קבוצה ממש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I \subsetneqq R} שעבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (I,+)} היא תת-חבורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (R,+)} נקראת אידיאל שמאלי אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\isin R} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\isin I} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\cdot i\isin I} ; ואידיאל ימני אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\isin R} ולכל $i\in I$ מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\cdot r\isin I} . אידיאל שמאלי וימני נקרא אידיאל דו-צדדי או סתם אידיאל.

אידיאל אמיתי (בחוג עם יחידה) איננו יכול להכיל את איבר היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} של החוג, משום שאז ההגדרה תאלץ אותו להכיל את החוג כולו. מכאן נובע שאידיאל שמאלי אינו יכול להכיל איברים הפיכים משמאל, בעוד שאידיאל ימני אינו יכול להכיל איברים הפיכים מימין.

בחוג חילופי, כל אידיאל שמאלי או ימני הוא אידיאל. בחוג לא חילופי יש הבדלים רבים בין שתי התכונות. בדרך כלל, מועיל לחשוב על אידיאל שמאלי כקבוצה "גדולה", בעוד שאידיאל (דו-צדדי) הוא קבוצה "קטנה". הסיבה היא שאידיאלים דו-צדדיים מנועים מלכלול הרבה יותר איברים מאשר האידיאלים החד-צדדיים.

דוגמאות

אידיאל נוצר

אידיאל נוצר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle X\rangle } של חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} על ידי קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} המוכלת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא האידיאל הקטן ביותר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המכיל את $X$, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle X \rangle = \left\{\sum_{i=1}^{n}r_{i}x_{i}{r'}_{i} : r_{i},{r'}_{i}\in R,\ x_{i}\in X \right\}} .

בדומה, אידיאל נוצר שמאלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle RX} של חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} על ידי קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} המוכלת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא האידיאל השמאלי הקטן ביותר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המכיל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה $RX=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}:r_{i}\in R,\ x_{i}\in X\right\}$ .

ואידיאל נוצר ימני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle XR} של חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} על ידי קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} המוכלת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא האידיאל הימני הקטן ביותר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המכיל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle XR = \left\{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}r_{i} : r_{i}\in R,\ x_{i}\in X \right\}} .

מוסכם כי האידיאל (שמאלי, ימני ודו-צדדי) הנוצר על ידי קבוצה ריקה הוא האידיאל המכיל את אפס בלבד.

אידיאל ראשי

אידיאל הנוצר על ידי איבר אחד נקרא אידיאל ראשי. לאידיאל שמאלי ראשי יש הצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ra=\{ra \mid r\in R\}} , ולאידיאל ימני ראשי הצורה הדואלית, $aR=\{ar|r\in R\}$. האידיאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא קבוצה גדולה בהרבה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle RaR = \{r_1 a r_1'+\dots r_n a r_n'\}} , הכוללת את כל המכפלות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle rar'} וכל הסכומים שלהן. כל אידיאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידיאלים כאלה.

תחום שלמות שבו כל האידיאלים ראשיים נקרא תחום ראשי. לדוגמה, בחוג המספרים השלמים, הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3\mathbb{Z}} , קבוצת כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש, היא אידיאל ראשי. קל לוודא שמדובר באידיאל. (כיוון שסכום שתי כפולות של שלוש הוא כפולה של שלוש, מספר נגדי לכפולה של שלוש הוא כפולה של שלוש ומכפלת מספר המתחלק בשלוש בכל מספר שלם אחר תתחלק גם היא בשלוש). חוג המספרים השלמים הוא חוג ראשי.

גרעין של הומומורפיזם

לכל הומומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi :R\rarr S} בין שני חוגים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R,S} , הגרעין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{Ker}(\varphi) = \{x \in R : \varphi(x)=0\}} הוא אידיאל דו-צדדי של $R$.

הגדרות ומשפטים הנוגעים לאידיאלים

ישנם כמה סוגים חשובים במיוחד של אידיאלים, המוגדרים על-פי תכונות של חוג המנה. אידיאל ראשוני הוא אידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} של החוג, שעבורו החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R/P} הוא חוג ראשוני. אפשר לנסח תכונה זו גם כך: לכל שני אידיאלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B} , אם המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} מוכלת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} , אז אחד מן האידיאלים מוכרח להיות מוכל ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} . בחוג חילופי, אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם אינו יכול להכיל מכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab} של איברים, בלי להכיל אחד מן האיברים.

דוגמה: בחוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} , כל אידיאל הוא מהצורה $\mathbb {Z} n$. אידיאל כזה הוא ראשוני אם ורק אם המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא מספר ראשוני, או אפס. אכן, אם מספר ראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} מחלק מכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab} של מספרים שלמים, אז הוא חייב לחלק אחד מהם.

אידיאל מקסימלי הוא אידיאל שאינו מוכל באידיאל גדול יותר, ולכן הוא מקסימלי עבור יחס ההכלה. ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן שבכל חוג עם יחידה, כל אידיאל מוכל באידיאל מקסימלי. כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההפך אינו נכון (לדוגמה, אידיאל האפס של חוג השלמים הוא ראשוני ואינו מקסימלי). חוג שמכיל אידיאל מקסימלי יחיד נקרא חוג מקומי.

בניסוח שקול, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם חוג המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R/M} הוא חוג פשוט. (כלומר, חוג שאין בו אידיאלים לא טריוויאליים) מכאן שלכל חוג קיימים חוגי מנה פשוטים; תכונה זו הופכת את החוגים הפשוטים לאבני הבניין של תורת החוגים. כל חוג חילופי פשוט הוא שדה.

אידיאל מינימלי הוא אידיאל שאינו מכיל אף אידיאל פרט לאפס. למרות שלכאורה מדובר בתכונות סימטריות, אידיאלים מינימליים הם בעלי תכונות שונות לחלוטין מאלו של אידיאלים מקסימליים. בראש וראשונה, אידיאלים כאלה לא תמיד קיימים (למשל, בחוג השלמים). כל אידיאל מינימלי הוא ראשי, אבל ההפך אינו נכון.

קישורים חיצוניים

• אידיאל, באתר MathWorld (באנגלית)   
• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30541219אידיאל (אלגברה)