נורמה (אלגברה)

באלגברה מופשטת, הנורמה של אלגברה A מעל שדה F היא פונקציה כפלית מסוימת, המוגדרת בעזרת הפולינום האופייני של איברים באלגברה. בין הדוגמאות המוכרות ביותר: הפונקציה $\ N(x+yi)=x^{2}+y^{2}$ , שהיא הנורמה של מספרים מרוכבים בהרחבה $\ \mathbb {C} /\mathbb {R}$ של המרוכבים מעל הממשיים, והדטרמיננטה, שהיא הנורמה עבור אלגברת המטריצות מעל שדה הבסיס.

בניגוד לנורמה האנליטית, הנורמה האלגברית יכולה במקרים רבים לקבל את הערך 0 גם באיברים שאינם 0.

הגדרה כללית

אם A אלגברה מממד סופי מעל שדה F, אפשר לבחור לה בסיס $\ b_{1},\dots ,b_{n}$ , ולהתבונן באיבר $\ X=x_{1}b_{1}+\cdots +x_{n}b_{n}$ של האלגברה $\ A\otimes _{F}F(x_{1},\dots ,x_{n})$ המתקבלת מהרחבת סקלרים מ- F לשדה הפונקציות $\ F(x_{1},\dots ,x_{n})$ . ל- X יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A, והמעלה שלו, m, היא הדרגה של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני $\ (-1)^{m-1}N$ ממעלה m במקדמים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ , הוא הנורמה של אברים מ-A. הנורמה מקיימת את התנאי $\ N(xy)=N(x)N(y)$ , ואם $\ \alpha \in F$ אז $\ N(\alpha )=\alpha ^{m}$ .

אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" - ראו טופולוגיית זריצקי), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל מחלק אפס היא אפס.

הנורמה בתורת גלואה

אם $\ K/F$ הרחבת גלואה של שדות, אפשר לראות ב-K אלגברה מעל השדה F, ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב- $\ \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}$ את האיברים בחבורת גלואה של ההרחבה (כאשר n שווה לממד ההרחבה). כל איבר $\ a\in K$ מאפס את הפולינום $\ f(\lambda )=(\lambda -\sigma _{1}(a))\cdots (\lambda -\sigma _{n}(a))$ , שמקדמיו שייכים לשדה השֶבת F, ופולינום זה (עבור a גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של K. מכאן מתקבלת הנוסחה: $\ N_{K/F}(a)=\sigma _{1}(a)\cdots \sigma _{n}(a)$ .

לדוגמה, אם $\ K=F[{\sqrt {d}}]$ , אז האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי מוגדר לפי הנוסחה $\ \sigma (a+b{\sqrt {d}})=a-b{\sqrt {d}}$ , ואז הנורמה היא $\ N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}$ .

את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה $\ K/F$ ספרבילית, משום שאז קיים "סגור גלואה" $\ K\subseteq E$ , היינו שדה E המהווה הרחבת גלואה של F. במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים $\ \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}$ של E המשרים פעולות שונות על K, ולהגדיר את הנורמה באותה צורה.

הנורמה של הרחבות ספרביליות היא טרנזיטיבית, כלומר, אם $\ F\subseteq L\subseteq K$ , אז $\ N_{L/F}\circ N_{K/L}=N_{K/F}$ .

הנורמה בתורת המספרים האלגבריים

אפשר להגדיר נורמה של אידאלים בתחום שלמות D, לפי גודלו של חוג המנה $\ N(I)=|D/I|$ . ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידאל $\ n\mathbb {Z}$ בחוג המספרים השלמים היא $\ |\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} |=n$ . עבור אידאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: $\ |D/Dab|=|D/Da|\cdot |D/Db|$ .

אם $\ D={\mathcal {O}}_{K}$ הוא חוג השלמים של שדה מספרים K, אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידאלים, כלומר, $\ N(IJ)=N(I)N(J)$ . יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של אברים שלמים ב-K: $\ N(a{\mathcal {O}}_{K})=N_{K/F}(a)$ . אם $\ {\mathfrak {P}}$ הוא אידאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים $\ \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {P}}=p\mathbb {Z}$ עבור ראשוני שלם p, אז $\ N({\mathfrak {P}})=p^{f}$ , כאשר f הוא "מקדם המימד" של $\ {\mathfrak {P}}$ (השווה למימד של $\ {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {P}}$ מכל $\ \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ).