קרקטר דיריכלה

במתמטיקה קרקטר דיריכלה הוא פונקציה כפלית ומחזורית מחוג השלמים לשדה המרוכבים.^[1] דריכלה עבד עם מושג זה בצורתו העוברית. דדקינד נתן את ההגדרה הפורמלית המודרנית של המושג ונתן לו את שמו. דיריכלה השתמש במושג זה כדי להגדיר את פונקציית L של דיריכלה שעומדת בבסיס הוכחתו למשפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.^[2]

קרקטרי דיריכלה עמדים גם בבסיסה של התמרת פורייה הדיסקרטית הכפלית.

הגדרה

קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) $m$ הוא פונקציה $\chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ המקיימת:

לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (n+m)=\chi (n)$
לכל $n$ שאינו זר ל- $m$ מתקיים: $\chi (n)=0$
לכל $n,k\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (nk)=\chi (n)\chi (k)$
$\chi (1)=1$

קרקטר דיריכלה כקרקטר של חבות אוילר

כיוון שקרקטר דיריכלה הוא פונקציה מחזורית (תנאי 1) ניתן לראות בו פונקציה על החוג הסופי $\mathbb {Z} |_{m}:=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ . כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא הפיכים בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על חבורת האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זו נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב- $\mathbb {Z} |_{m}^{\times }$ . מנקדת מבט זו קרקטר דיריכלה הוא קרקטר כיפלי של החבורה $\mathbb {Z} |_{m}^{\times }$ . קרי הומומורפיזם מחבורה זו לחבורה $\mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\}$ . אוסף כל הקרקטרים של חבורה $G$ נקרא החבורה הדואלית של $G$ ומסומן ב- ${\widehat {G}}$ . בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה $m$ מסומן ב- ${\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}}$ .