קרקטר דיריכלה
במתמטיקה קרקטר דיריכלה הוא פונקציה כפלית ומחזורית מחוג השלמים לשדה המרוכבים.[1] דריכלה עבד עם מושג זה בצורתו העוברית. דדקינד נתן את ההגדרה הפורמלית המודרנית של המושג ונתן לו את שמו. דיריכלה השתמש במושג זה כדי להגדיר את פונקציית L של דיריכלה שעומדת בבסיס הוכחתו למשפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.[2]
קרקטרי דיריכלה עמדים גם בבסיסה של התמרת פורייה הדיסקרטית הכפלית.
הגדרה
קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) $ m $ הוא פונקציה $ \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} $ המקיימת:
- לכל $ n\in \mathbb {N} $ מתקיים: $ \chi (n+m)=\chi (n) $
- לכל $ n $ שאינו זר ל-$ m $ מתקיים: $ \chi (n)=0 $
- לכל $ n,k\in \mathbb {N} $ מתקיים: $ \chi (nk)=\chi (n)\chi (k) $
- $ \chi (1)=1 $
קרקטר דיריכלה כקרקטר של חבות אוילר
כיוון שקרקטר דיריכלה הוא פונקציה מחזורית (תנאי 1) ניתן לראות בו פונקציה על החוג הסופי $ \mathbb {Z} |_{m}:=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} $. כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא הפיכים בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על חבורת האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זו נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-$ \mathbb {Z} |_{m}^{\times } $. מנקדת מבט זו קרקטר דיריכלה הוא קרקטר כיפלי של החבורה $ \mathbb {Z} |_{m}^{\times } $. קרי הומומורפיזם מחבורה זו לחבורה $ \mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\} $. אוסף כל הקרקטרים של חבורה $ G $ נקרא החבורה הדואלית של $ G $ ומסומן ב-$ {\widehat {G}} $. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה $ m $ מסומן ב-$ {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}} $.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- קרקטר דיריכלה, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
- ↑ ההגדרה המדויקת מעט שונה. ראו להלן
- ↑ The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood
קרקטר דיריכלה38965226Q1063579