תבנית ריבועית בינארית
 |
יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
| |
| יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. |
במתמטיקה, תבנית ריבועית בינארית (באנגלית: Binary quadratic form) היא תבנית ריבועית בשני משתנים, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2, \, } , כאשר a ,b ,c הם המקדמים, שיכולים להיות מספרים שרירותיים. תבנית ריבועית עם מקדמים שלמים נקראת תבנית שלמה, או תבנית מעל (חוג המספרים) השלמים.
החלפת משתנים ליניארית (היינו, הצבת הביטויים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha x + \beta y, \, \gamma x + \delta y} במקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x,\, y} ) היא הפיכה אם יש הצבה דומה המחזירה את המשתנים המקוריים. שתי תבניות f,g הן שקולות אם אפשר לעבור מאחת לאחרת על ידי החלפת משתנים הפיכה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x,y) = f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y)} . החלפת משתנים כזו אינה משנה את התכונות המהותיות של התבנית, ולכן הבעיה היסודית בתבניות ריבועיות היא מיון התבניות עד כדי שקילות.
לשאלות המיון יש שתי וריאציות: מיון אלגברי, מעל שדה; ומיון אריתמטי, מעל חוג המספרים השלמים וכדומה. המיון האלגברי של תבנית ריבועית בשני משתנים אינו קשה. מעל שדה (ממאפיין שונה מ-2), התבנית q שקולה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2, \, } אם ורק אם a הוא ערך של התבנית, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4ac - b^2} שווה לדיסקרימיננטה של התבנית (עד כדי כפל בסקלר ריבועי). למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 7 x^2 - 3 y^2} שקולה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2 - 5 xy + y^2} מעל הרציונליים, משום ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 = 7(1/2)^2 - 3(1/2)^2} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7 \cdot (-3) = 4 \cdot 1 \cdot 1 - 5^2} .
המיון האריתמטי של תבניות ריבועיות, אפילו מעל השלמים, הוא בעיה קשה בהרבה. גאוס עסק בהרחבה בהיבטים האריתמטיים של תבניות ריבועיות מעל המספרים השלמים; עבודתו זו הייתה הכוח המניע מאחורי היצירה של תורת המספרים האלגברית.
אריתמטיקה של תבניות ריבועיות בינאריות
מעל השלמים, החלפת המשתנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y) \mapsto (\alpha x+ \beta y, \gamma x + \delta y)} צריכה להיות במקדמים שלמים (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha,\beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z}} ), וכדי שתהיה הפיכה נדרש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \delta - \beta \gamma = \pm 1} . לדוגמה, התבנית הריבועית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f= x^2 + 4xy + 2y^2} שקולה לתבנית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g = (-3x+2y)^2 + 4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^2 = -x^2+4xy-2y^2} .
תנאי השקילות שלעיל מגדירים יחס שקילות על אוסף התבניות הריבועיות האינטגרליות. נובע ממנו שאוסף התבניות הריבועיות מחולק למחלקות של שקילות, שנקראות מחלקות של תבניות ריבועיות. המונח אינווריאנט של מחלקה יכול להתייחס הן לפונקציה המוגדרת על מחלקות שקילות של תבניות (ומקבלת ערך קבוע) והן לתכונה משותפת שחולקות כל התבניות מאותה מחלקה.
בהגדרה זו לשקילות השתמש לגראנז'. מאז גאוס נוצרה ההבנה שנחוץ תנאי חזק יותר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \delta - \beta \gamma = 1} . אם יש צורך להבחין, התבניות שקולות כראוי (properly equivalent) אם הן שקולות לפי גאוס, ושקולות שלא-כראוי (improperly equivalent) אם הן שקולות במובן של לגראנז' (עם סימן 1-) אבל לא במובן של גאוס.
במינוח וסימון מטריציוני, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} } , היא מטריצה עם מקדמים שלמים בעלת דטרמיננטה 1, אז ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y) \mapsto f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y)} מגדירה פעולת חבורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})} על אוסף התבניות הריבועיות הבינאריות; בעוד שהשקילות של לגראנז' מתאימה לפעולת החבורה הגדולה יותר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})} .
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f=ax^2+bxy+cy^2} , אז אינווריאנטים חשובים כוללים את:
- הדיסקרימיננטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta=b^2-4ac } .
- הגורם המשותף המרבי של a, b, c.
בעקבות גאוס, טרמינולוגיה ענפה פותחה לצורך סיווג מחלקות שקילות והתבניות ששייכות להן במונחי האינווריאנטים שלהן. תבנית עם דיסקרימיננטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} תיקרא מוחלטת (חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין, בהתאם לסימן של a) אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta < 0 } , מנוונת אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} הוא ריבוע טבעי ו-לא מוחלטת במקרה אחר. תבנית תיקרא פרימיטיבית אם המחלק המשותף המקסימלי של מקדמיה הוא 1, כלומר כאשר מקדמיה זרים בזוגות. דיסקרימיננטות מקיימות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta\equiv 0,1 \pmod 4 } .
מקורות
- D. A. Buell, "Binary Quadratic Forms - Classical Theory and Modern Computations", Springer-Verlag, 1989.
