תיבת גלטון

מכונת גלטון, כפי שצוירה על ידי פרנסיס גלטון

תיבת גלטון היא מכשיר שהומצא על ידי פרנסיס גלטון כדי להדגים את משפט הגבול המרכזי, ובפרט להדגים כיצד ההתפלגות הבינומית שואפת להתפלגות הנורמלית כאשר הפרמטר n (מספר ההטלות בבינומי) גדל. המכונה מורכבת מלוח אנכי ובו שורות מופרדות של סיכות. כדורים נזרקים מלמעלה, ומקפצים לשמאל ולימין כאשר הם נתקלים בסיכות. לבסוף, הם נאספים לתוך מיכלים, כאשר כל מיכל הוא ברוחב של כדור אחד. הגובה של עמודות הכדורים בתאים מקרב עקומה פעמונית. משולש פסקל מתאר את מספר המסלולים האפשריים כדי להגיע לכל מיכל דרך הסיכות. ניתן לראות מודל גדול ופעיל של המכשיר הזה במוזיאון המדע בבוסטון בתערוכת המתמטיקה.

התפלגות הכדורים

העתק פעיל של המכונה (מודל מעט שונה)

אם כדור קופץ ימינה k פעמים בדרכו למטה (ושמאלה בסיכות הנותרות) הוא מסיים את המסלול במיכל ה-k משמאל. נניח ש-n הוא מספר שורות הסיכות במכונה, מספר המסלולים למיכל ה-k נתון על ידי המקדם הבינומי ${n \choose k}$. אם ההסתברות לקפוץ ימינה מעל סיכה היא p (ששווה בערך ל-0.5 במכונה חסרת הטיה) ההסתברות של כדור לסיים את המסלול בתא ה-k שווה ${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. זאת פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית. לפי משפט הגבול המרכזי, ההתפלגות הבינומית מתקרבת להתפלגות הנורמלית כאשר n, מספר שורות הסיכות במכונה, גדול.