התמרת פורייה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

התמרת פורייה (נקראת גם טרנספורמציית פורייה) היא התמרה אינטגרלית המשמשת ככלי מרכזי באנליזה הרמונית. התמרת פורייה היא פירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. בשל כך ניתן לראות את ההתמרה בתור מיפוי בין מרחב הזמן למרחב התדר. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה וקרויה על שמו.

להתמרות פורייה יש שימוש נרחב מאוד בפיזיקה, בהנדסה ובכל תחום העוסק בפולסים ובגלים, ובפרט באופטיקת גלים ובמכניקת הקוונטים. התמרת פורייה היא אחד הכלים החשובים בהנדסת חשמל ומהווה את הבסיס המדעי לפיתוחים טכנולוגיים בתחומי התקשורת הספרתית, עיבוד אותות ומערכות ליניאריות, עיבוד תמונה וקידוד. כמו כן, התמרת פורייה משמשת ככלי בתחומים רבים נוספים של המתמטיקה, למשל בתור כלי עזר לפתרון של משוואות דיפרנציאליות, או בתורת המספרים האנליטית (למשל נוסחת הסכימה של פואסון). בפיזיקה של מצב מוצק ניתן להשתמש בהתמרת פורייה למעבר מהסריג הישיר (כלומר סריג המתאר את מבנה הגביש במרחב המקום) לסריג הופכי (סריג המתאר את אותו הגביש ב"מרחב הגל").

התמרת פורייה מהווה כלי חשוב בניתוח של צלילים משום שצליל צלול (תו בתדר בודד) הוא למעשה גל קול המתנודד בזמן בתדר מסוים. ההתמרה מאפשרת לנתח צלילים ולבודד את התדרים המרכיבים אותם. באופן כללי יותר, התמרת פורייה מאפשרת לאתר רכיבים מחזוריים בתוך פונקציה, ולכן יש לה שימוש רחב בניתוח אותות ובעיבוד תמונה.

ההתמרה היא הרחבה לטור פורייה – כאשר זמן המחזור של הפונקציה המחזורית בטור פורייה שואף לאינסוף מתקבלת התמרת פורייה.

מוטיבציה – פירוק לפונקציות הרמוניות

התמרת פורייה נוצרה מהצורך לפרק כל פונקציה, לצירוף של כמה פונקציות הרמוניות, כאשר פונקציה הרמונית מוגדרת כפונקציה מחזורית בעלת תדירות זוויתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \omega} (לפעמים נקראת בקיצור "פונקציה הרמונית" או פשוט "הרמוניה"). הצורה הכללית של פונקציה הרמונית היא:

$\ f_{\omega }(t)=Ae^{\pm i\omega t}=A\cos(\omega t)\pm iA\sin(\omega t)$.

צירוף ליניארי של כמה פונקציות כאלה נותן ביטוי מהצורה הכללית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_S(t)=1/T\sum_k f_{\omega_k}(t) = 1/T\sum_k A_k e^{ i\omega_k t}}

כאשר $T$ הוא זמן המחזור של $f_{\omega _{0}}(t)$, ו־$A_{k}$ היא התמרת פורייה ההפוכה של $f_{S}(t)$ עבור $\omega _{k}$ המחושב כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_k=\int_{0+\alpha}^{T+\alpha} f_S(t) e^{ -i\omega_k t} dt } .

על ידי הכפלת כל מקדם בהרמוניה המתאימה לו וסכימת המכפלות, מקבלים את הפונקציה המקורית כסכום של פונקציות אורתונורמליות (כלומר פונקציות בלתי תלויות ליניארית שהנורמה של כל אחת מהן היא 1). כל אחד מהמקדמים, בתחום הנדסת החשמל ובייצוג של האות (סיגנל) המקורי כתלות בזמן, מייצג עוצמה של תדר במערכת היחידות החדשה שאליה הומר על ידי התמרת פורייה ההפוכה.

כאשר בביטוי האחרון לשם מציאת המקדם, משתמשים בדרך כלל בתוך $f(t)$ בערכים של הפונקציה מצורתה הרגילה, כלומר בערכים מתוך הפונקציה המקורית.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \omega} – מרחב הפונקציה המותמרת – נקרא מרחב התדירות הזוויתית, או פשוט מרחב התדר. אפשר לראות את המשרעת והפאזה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A(\omega)} כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית $\ \omega$. למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.

משמעות ההתמרה למרחב התדר היא שמקבלים פונקציה מרוכבת שמחזירה עבור כל תדירות את המשרעת והפאזה המתאימות על ידי מספר מרוכב (ערכו המוחלט הוא המשרעת, והזווית שלו היא הפאזה). דבר זה נותן כלי חזק מאוד לניתוח התנהגות של פונקציות מבחינת התדר.

דוגמה לשימוש בהתמרה: בקובצי שמע ניתן לפרק את גל הקול לפונקציות הרמוניות ולהסיר מהקובץ את התדירויות הגבוהות (על ידי מסנן מעביר תדרים נמוכים – low-pass filter) שהאוזן לא שומעת ובכך להקטין את נפח הקובץ באופן משמעותי.

הגדרה פורמלית ראשונה

התמרת פורייה של פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}} מוגדרת כפונקציה $\ F:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ כך ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(\omega) \equiv \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt }

(אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשית משיקולי נוחות). ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1(\mathbb{R})} . מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה $L_{1}(\mathbb {R} )\cap L_{2}(\mathbb {R} )$ שהיא קבוצה צפופה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2(\mathbb{R})} . בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2(\mathbb{R})} , ומקבלים שהתמרת פורייה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג – הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2(\mathbb{R})} שהוא מרחב הילברט.

התמרת פורייה ההפוכה

באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה, זו ההתמרה של פונקציה $\ {\mathcal {F}}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ שניתנת על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(t) = \mathcal{F}(t) \equiv \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega } ,

להתמרה זו קוראים התמרת פורייה ההפוכה.

אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathcal{F}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x} e^{i\omega t} dx = }

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega (t-x)}d\omega \right)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta {(t-x)}dx=f(t)$

שכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega (t-x)} d\omega = \delta(t-x) \ \ }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(t-x)} היא פונקציית דלתא של דיראק.

הגדרה פורמלית שנייה

אפשר לרשום כל פונקציה $\ f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$, שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לרשום זאת בקיצור כך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f \in L_2} ) כצירוף ליניארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:

$\ (1)\quad \quad \quad \quad f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{{\hat {f}}(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega }$

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \hat{f}(\omega)} נתונה על ידי

$\ (2)\quad \quad \quad \quad {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{f(t)\ e^{-i\omega t}\ dt}$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \hat{f}(\omega)} נקראת "ההצגה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} במרחב התדר" בעוד שהפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(t)} נקראת "ההצגה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} במרחב הזמן".

ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L_2} .

טרמינולוגיה:

• ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן על פי משוואה (1) נקראת "התמרת פורייה ההפוכה".
• ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) על פי משוואה (2) נקראת "התמרת פורייה".
• לעיתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים.

סימונים וגורמי נרמול

מספר סימונים שונים נהוגים עבור התמרת פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 / 2 \pi } .

להלן הגישות הנפוצות בנושא:

• הוספת גורם הנרמול $\ 1/2\pi$ באחד מכיווני ההתמרה.
• הוספת גורם נרמול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 / \sqrt{ 2 \pi}} לפני כל אחת מההתמרות.
• הוספת גורם הנרמול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 / 2 \pi} להגדרת המכפלה הפנימית.

גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה השנייה היא הגישה הנפוצה בפיזיקה ובהנדסה. היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית, אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.

העיקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה

מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג

המרחב $\ L_{2}$ הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lang f | g \rang \equiv \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ \overline{g(t)} \ dt} = \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ {g(t)}^* \ dt}} הוא מרחב הילברט.

אוסף הפונקציות $\ \left\{e(\omega )\equiv {\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {2\pi }}}\right\}_{\omega \in \mathbb {R} }$ מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שהיא מעין הכללה של בסיס אורתונורמלי, משמע:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lang e(\rho) | e(\omega) \rang = \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{e^{i\rho x}}{\sqrt{2\pi}}\right) \, \left(\frac{e^{-i\omega x}}{\sqrt{2\pi}}\right) \, dx =\delta(\rho - \omega) }

כאשר הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(x)} היא פונקציית דלתא של דיראק. מערכת זו נקראת במתמטיקה "הבסיס ההרמוני" ואילו בפיזיקה קוראים לפונקציות אלה "גלים מישוריים".

במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע $\ F(\omega )=\langle f(t)|e(\omega )\rangle$. והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המצומד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(t)= \lang e(t) | F(\omega) \rang} .

התמרת פורייה כאופרטור

ניתן לראות את התמרת פורייה כאופרטור ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )$. אופרטור זה הוא איזומטריה (כלומר על ושומר מרחקים). ניתן אף להגדיר את התמרת פורייה בגישה זאת, כאשר בהתחלה מגדירים את האופרטור על קבוצה צפופה (מרחב שוורץ למשל) עליה הוא איזומטריה, ומרחיבים מרציפות.

סימונים נוספים

לעיתים נהוג לסמן את ההתמרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(\omega) } כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\equiv \mathfrak{F}( f) \equiv \mathcal{F}( f) }

או בעזרת אופרטור ה"כובע" על הפונקציה המקורית:

$\ F\equiv {\widehat {f}}$.

מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר, הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות. כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f \equiv \check{F} } .

לעיתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.

התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד (DTFT)

התמרת פורייה בדידה היא למעשה טור פורייה (כאשר עושים החלפת משתנים בין t ל־θ).

נניח ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x[n] } הוא אות בזמן בדיד, אזי התמרתו נתונה על ידי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X^{f} (\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n] e^{-i\theta n} }

כאשר תנאי מספיק לקיום ההתמרה הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right| <\infty }

וההתמרה ההופכית נתונה על ידי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x[n]=\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{f} (\theta )e^{i\theta n} d\theta }

נשים לב ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X^{f} (\theta ) } מחזורית במחזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi} .

הסבר אינטואיטיבי על מחזוריות התדר:

נשים לב כי אות בזמן בדיד הוא בעצם הכפלה של הפונקציה בזמן רציף ב"רכבת הלמים" כאשר רכבת הלמים מוגדרת כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(t) = \delta(t + nT), n\in\Z }

T הוא זמן המחזור של הרכבת.

מישור התדר "רגיש" לקפיצות חדות במישור הזמן, כלומר אם יש אי רציפות או שיפוע מאוד גדול בפונקציה זה גורר אחריו תדרים גבוהים (עיקרון זה נובע מהכלל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{\frac{df}{dt}}(\omega) = \widehat{\dot{f}(t)} = i\omega \hat{f}(\omega)} שיובא בהמשך, משמעותו היא שגזירה של אות במרחב משפיעה בצורה ליניארית על מישור התדר, כך שהתדרים הגבוהים מקבלים אמפליטודה גבוהה עם עליית התדר) ולכן בעת מכפלה של הפונקציה המקורית ברכבת הלמים שהיא מחזורית, מישור התדר יתנהג כמו פונקציית ההלמים ויהיה מחזורי.

אפשר גם להסביר את זה מבחינה מתמטית מהעיקרון שמכפלה בזמן שקולה לקונבולוציה בתדר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(f\bullet g) = \hat{f} \ast \hat{g} } , והתמרת פורייה של רכבת הלמים שווה לרכבת הלמים (עם זמן מחזור שונה ואמפליטודה שונה), כך שהכפלת האות ברכבת הלמים בזמן יוצרת קונבולוציה של הספקטרום התדירותי של האות עם רכבת הלמים. מהעיקרון שקונבולוציה של כל פונקציה עם הלם משמעותה הזזה של הפונקציה למקומו של ההלם מתקבלת פונקציה מחזורית שכל מחזור בה הוא העתקה של הספקטרום התדירותי המקורי.

מהפיתוח המתמטי הזה עולה שאם דוגמים אות בזמן בדיד, החל מתדר דגימה מסוים (המכונה "תדר נייקוויסט") אפשר לשחזר את האות במלואו ללא איבוד שום מידע שהרי במישור התדר כל הספקטרום התדירותי של האות המקורי נשמר אלא ששוכפל אינסוף פעמים.

נשים לב שנוצרה פה תופעה מעניינת: דגימה בזמן שקולה למחזוריות בתדר. וגם להפך, אם ניקח אות אין סופי שערכו שווה ל־0 החל מזמן מסוים (בערך מוחלט) ונבדוק מהי התמרת פורייה שלו, אחר כך נעשה הרחבה מחזורית של אותו האות כך שכדי לתאר אותו במישור התדר אנו צריכים לעבור לטור פורייה, נגלה שטור פורייה המתקבל הוא בדיוק דגימה של התמרת פורייה המקורית, הרחבה מחזורית בזמן שקולה לדגימה בתדר.

התמרת פורייה לאותות סופיים (או מחזוריים) בזמן בדיד (DFT)

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x[n] } המוגדרת על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n \in \{0,1,...,M-1\}} התמרת פורייה הבדידה (DFT) מוגדרת על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X^{f} (m )=\frac{1}{M}\sum _{n=0 }^{M-1} x[n] e^{-2i{\pi}mn/M}}

עבור m=0,1,...,M-1.
ההתמרה במקרה זה היא העתקה ליניארית חח"ע ממרחב ה-M-יות על עצמו.

התמרה זו היא ההתמרה היחידה בה הסכימה היא סופית, דבר שהופך אותה לשימושית מאוד עבור שימושי המחשב.

התמרה זו היא מאוד אינטואיטיבית להבנה, אם מסתכלים עליה מנקודת המבט של אלגברה ליניארית. למעשה, משמעות ההתמרה היא מעבר בין בסיסים ליניאריים.

קובץ:DFT vis.jpg

המחשה ויזואלית של מטריצת המעבר. כל שורה וכל עמודה היא וקטור דגימה של הרמוניה מחזורית על המישור המרוכב (פאזור) בעל תדר שונה. השורה האמצעית היא בעלת התדר הגבוה ביותר

מקובל לסמן את ההרמוניה הבסיסית

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i2\pi/N} := W_N }

על ידי סימון זה נרשום את מטריצת המעבר בין בסיס הזמן לבסיס התדר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix} 1&1&1&1&\cdots &1 \\ 1&W_N&W_N^2&W_N^3&\cdots&W_N^{N-1} \\ 1&W_N^2&W_N^4&W_N^6&W_N&W_N^{2(N-1)}\\ 1&W_N^3&W_N^6&W_N^9&\cdots&W_N^{3(N-1)}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&W_N^{N-1}&W_N^{2(N-1)}&W_N^{3(N-1)}&\cdots&W_N^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix} }

בכל שורה ישנן שתי הרמוניות, אחת ממשית ואחת מדומה, הסכום שלהן יוצר את הפאזור

מטריצה זו היא אוניטרית (עד כדי קבוע), הפיכה ומוגדרת חיובית. משמעות הדבר היא שבמעבר למישור התדר אין איבוד מידע (אפשר לחזור למישור הזמן על ידי הכפלה במטריצה ההפוכה) ואין שינוי באנרגיה (אוניטרית, הערכים העצמיים שווים ל-1 בערכם המוחלט).

כאשר עוברים למישור התדר מתקבל וקטור שמשמעותו הוא מהי האמפליטודה הנדרשת עבור כל הרמוניה כדי לבנות את אותו הווקטור כצירוף ליניארי של כל ההרמוניות (וזהו למעשה, ההרכב הספקטרלי של האות). ככל שיהיה יותר דגימות בזמן ,כך מימד המטריצה עולה. משמעות הדבר שהאות מיוצג על ידי יותר תדרים והרזולוציה בתדר עולה.

התמרה זו שימושית מאוד בעיבוד אותות ספרתי. מימוש נאיבי של ההתמרה על וקטור מימד n עובד בסיבוכיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}(n^2)} . קיים גם אלגוריתם מהיר למימוש הטרנספורמציה בשם FFT בסיבוכיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}(n\log n)} .

קשר בין DFT ל-DTFT והעיוות שנוצר ב-DFT

ניתן להסתכל על הווקטור הסופי שעליו מבצעים DFT בזמן כוקטור אינסופי שעליו מבצעים DTFT כאשר כל הדגימות שאינם הווקטור עצמו שוות ל-0. מבט זה מסביר תופעה של עיוות ספקטרלי שנוצרת ב-DFT. ניקח לדוגמה פונקציית קוסינוס פשוטה. התמרת ה-DTFT שלה היא "דלתא" בתדר, כלומר, היא מורכבת רק מתדר אחד.

אמנם אם נעבור לזמן סופי, הדבר שקול להכפלה של הקוסינוס ב"חלון", הקוסינוס מוכפל בפונקציה שמאפסת את כל מה שלא בתחום ההגדרה שלה. כאשר עוברים למישור התדר ההכפלה בחלון הופכת לקונבולוציה עם ההתמרת פורייה של החלון (שהיא למעשה פונקציית sinc) ובמקום "דלתא" יפה בתדר מתקבלת "זליגת אנרגיה" בין תדרים סמוכים. כדי להתגבר על מכשול זה משתמשים בשיטת החלונות (שינוי צורת החלון כך שיוריד את העיוות) או באלגוריתם "WOLA FFT" (ביצוע DFT על ממוצע של מספר חלונות)

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

זליגת אנרגיה בין תדרים בהתמרת DFT

תכונות

ליניאריות

התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן ליניאריות, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall f,g \in L_2 \, \alpha, \beta \in \mathbb{C} \ \ \ : \ \ \ \ {\widehat{\left( \alpha f + \beta g \right)}} (\omega) = \alpha \hat{f}(\omega) + \beta \hat{g}(\omega)}

על תכונות של העתקות ליניאריות ראו בערך העתקה ליניארית.

משפט פלנשרל וזהות פרסבל

משפט פלנשרל קובע ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int_{-\infty}^\infty f(t) g(t)^* \, dt =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)^* \, d\omega}

זהות פרסבל היא מקרה פרטי אך שימושי ביותר של משפט פלנשרל.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int_{-\infty}^\infty \left| f(t) \right|^2 dt =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{f}(\omega) \right|^2 d\omega }

הפירוש של תכונה זאת היא שימור הנורמה, כלומר היוניטריות של התמרת פורייה.

העיקרון הפיזיקלי של זהות פרסבל הוא שסך האנרגיה של האות במישור הזמן שווה לסך האנרגיה במישור התדר.

קונבולוציה

קונבולוציה מוגדרת באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f*g = \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(x - t) \ g(t) \ dt}}

התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{f*g} = \hat{f} \cdot \hat{g}}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{f \cdot g} = \hat{f} * \hat{g}}

התכונות האלו של התמרת פורייה הופכות אותה לשימושית מאוד בחישובים מורכבים נומריים, במקום לעשות קונבולוציה (שהיא למעשה סכימה על כל המרחב של הכפלות של פונקציות), נוכל להתמיר את הפונקציות למרחב פורייה ושם לכפול אותן פעם אחת ולהחזיר את התוצאה בהתמרה ההופכית. ולעיתים רבות הדרך השנייה יותר מהירה חישובית.

נשים לב כי קונבולוציה כוללת 3 פעולות: שיקוף הזזה וסכימה (אינטגרציה) והפונקציה המתקבלת היא פונקציה של t כלומר התוצאה תלויה במידת ההזזה.

כמו כן התמרת פורייה כוללת הכפלה בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-i\omega t} } וסכימה כאשר מתקיימת הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\displaystyle {\widehat {f(t-t_{0})}}={\hat {f}}(\omega )e^{-i\omega t_{0}}}} , כלומר, ההזזה בזמן שקולה להכפלה באקספוננט בתדר. ומכאן נובע משפט הקונבולוציה.

הזזה בזמן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{f(t-t_0)}=\hat{f}(\omega)e^{-i\omega t_0} }

משמעות הדבר היא שהזזה במישור הזמן, משמעותה "סיבוב ליניארי" במישור התדר.

כדי להזיז פונקציה בשלמותה, צריך להזיז את התדרים שבה בלי לפגוע בשלמות הפונקציה. כדי לעשות זאת, צריך להזיז את התדרים הנמוכים יותר מהתדרים הגבוהים (בזמן שתדר ω זז מחזור שלם תדר 2ω זז 2 מחזורים).

נגזרת

התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת הגזירה.

מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת האינטגרל, קל לראות ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{df(t)}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int{ \hat{f}({\omega}) \frac{d}{dt} e^{i \omega t} d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int{ \hat{f}({\omega}) i\omega e^{i \omega t} d\omega} }

ולכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{\frac{df}{dt}}(t) = \widehat{\dot{f}(t)} = i\omega \hat{f}(\omega)}

כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב־$\ i\omega$ במרחב התדר.

תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא פונקציה עצמית של אופרטור הגזירה, שכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{d}{dx} e^{ikx} = ik \ e^{ikx}}

תכונה זו הופכת את התמרת פורייה למאוד שימושית בעבודה עם מערכות שמאופיינות על ידי משוואה דיפרנציאלית (כגון מערכת LTI).

הכללה למספר ממדים

ההכללה לפונקציות ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N} ממדים היא מיידית.

אם $\ f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {C}$ פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(\vec{k})} נקראת "ההצגה של f במרחב וקטור הגל" ונתונה על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(\vec{k}) \equiv \hat{f}(\vec{k}) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^N} \int_{\vec{r} \in \mathbb{R}^N}{ f(\vec{r}) \ e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \ d^N r} }

וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(\vec{r}) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^N} \int_{\vec{k} \in \mathbb{R}^N}{ F(\vec{k}) \ e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \ d^N k}}

כאשר:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{\vec{k} \in \mathbb{R}^N}{ d^N k}} הוא אינטגרל "נפחי" על כל המרחב (משמע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} ... \int_{-\infty}^{+\infty} dk_1 dk_2...dk_N} ).
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{k} \cdot \vec{r} \equiv \sum_{n=1}^{N}{r_n k_n}} הוא מכפלה סקלרית ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^N} .

טבלת התמרות שימושיות

הטבלה הבאה מכילה מספר התמרות שימושיות. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(\omega)} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G(\omega)} מציינות את ההתמרות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(t)} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(t) } בהתאמה.

	פונקציה	ההתמרה	פירוש
1	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a f(t) + b g(t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a F(\omega) + b G(\omega)}	ליניאריות
2	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(t - a)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{- i\omega a} F(\omega)}	הזזה בקבוע
3	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{ iat} f(t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(\omega - a)}	כפל בפאזה מרוכבת
4	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(a t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)}	שינוי סקלה
5	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{d^n f(t)}{dt^n}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (i\omega)^n F(\omega)}	גזירה במרחב הזמן
6	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t^n f(t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}}	גזירה במרחב התדר
7	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (f * g)(t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)}	קונבולוציה
8	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{f(x)}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{F(-\omega)}}	אופרטור הצמוד
9	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(t) g(t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}}	מכפלה
10	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}}	דלתא של דיראק
11	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1}	$\ {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$	-
12	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t^n}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)}	-
13	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i a t}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {2 \pi} \delta(\omega - a)}	-
14	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cos (a t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi\frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{1}}	קוסינוס
15	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin( at)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{i}}	סינוס
16	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(-a t^2)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)}	גאוסיאן
17	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)}	התמרת פונקציית המלבן לפונקציית sinc
18	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{t}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)}	-
19	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{t^n}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)}	-
20	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sgn(t)}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}}	גל מרובע

שימושים

• מתמטיקה
  • פתרון משוואות דיפרנציאליות (בעיקר חלקיות)
  • אנליזה הרמונית
  • אנליזה פונקציונלית
• פיזיקה
  • גלים
  • פתרון משוואת הגלים
  • פתרון משוואת החום
  • קרינה אלקטרומגנטית
  • מכניקת הקוונטים
  • פתרון משוואת שרדינגר
• מדעי המחשב
  • עיבוד אותות
  • עיבוד קול
  • עיבוד תמונה
• הנדסה
  • אלקטרוניקה
  • אלקטרומגנטיות

ראו גם

• טור פורייה
• תורת שטורם-ליוביל
• שדה המספרים המרוכבים
• חשבון אינפיניטסימלי
• אלגברה ליניארית
• מרחבי מכפלה פנימית ובפרט מרחב הילברט
• אורתוגונליות
• משוואות דיפרנציאליות
• אופרטור הרמיטי
• התמרת פורייה קוונטית
• התמרת לפלס
• התמרת האף

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התמרת פורייה בוויקישיתוף

• מחשבון להתמרה פורייה ישירה והפוכה
• התמרת פורייה – טרנס טאו
• ארז גרטי, פורייה: עושים גלים, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 5 נובמבר 2011
• התמרת פורייה, באתר MathWorld (באנגלית)
• סרטון הסברה על מישור התדר
• מבוא רעיוני להתמרת פורייה מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
• building the Fourier transform, סרטון בערוץ "Michael Penn", באתר יוטיוב (אורך: 23:12)
• התמרת פורייה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

38917256התמרת פורייה