מערכת אורתונורמלית שלמה

במתמטיקה, מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב מכפלה פנימית (ובפרט במרחב הילברט) היא קבוצה של וקטורים שקבוצת האיברים הנפרשים על ידה היא צפופה במרחב, ושאיבריה הם אורתוגונליים זה לזה, כלומר מכפלתם הפנימית היא 0, והם מנורמלים, כלומר כל אחד הוא בעל נורמה 1 (וקטורים כאלה נקראים "וקטורי יחידה").

נוח להשתמש במערכות אורתונורמליות שלמות מכיוון שהן מאפשרות תיאור של כל איבר במרחב בתור צירוף לינארי (לא בהכרח סופי) של איברים מתוך המערכת האורתונורמלית, שאיבריה הם פשוטים יחסית. דוגמה לשימוש זה היא פיתוח לטור פורייה, שמהווה תיאור של פונקציה במרחב מסוים של פונקציות באמצעות מערכת אורתונורמלית במרחב.

לעיתים גם קוראים למערכת אורתונורמלית שלמה בסיס אורתונורמלי. במרחבים וקטוריים מממד סופי, מערכת אורתונורמלית שלמה מהווה בסיס למרחב, שאבריו הם וקטורים אורתנורמלים. ברם, במרחבים שאינם מממד סופי, מערכת אורתונורמלית שלמה אינה בסיס במובן הרגיל של בסיס באלגברה לינארית. זאת מכיוון שלא ניתן להציג כל איבר במרחב בתור צירוף לינארי סופי של איברים מתוך המערכת האורתונורמלית, אלא רק להתקרב אליו כרצוננו (זהו פירושה של צפיפות קבוצת האיברים הנפרשים על ידי המערכת האורתונורמלית). נהוג לכנות בסיסים במובן הרגיל של האלגברה הלינארית בשם בסיס המל, אך הם שימושיים הרבה פחות מאשר מערכות אורתונורמליות שלמות במרחבים מממד אינסופי.

הגדרות

הגדרה 1: יהא

\ H

מרחב הילברט כלשהו. תהא

\ \left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }

קבוצת וקטורים (

\ \Lambda

היא קבוצת אינדקסים) כך שמתקיימות שתי התכונות הבאות:

לכל $\ \alpha \neq \beta$ מתקיים $\ \langle u_{\alpha },u_{\beta }\rangle =0$ . כלומר, כל שני איברים ניצבים זה לזה.
לכל $\ \alpha \in \Lambda$ מתקיים $\ \langle u_{\alpha },u_{\alpha }\rangle =1$ . כלומר, הנורמה של כל איבר היא 1.

אז נאמר שהקבוצה

\ \left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }

היא מערכת אורתונורמלית.

הערה: את שני התנאים שלעיל ניתן לסמן בקצרה בעזרת הדלתא של קרונקר: $\ \forall \alpha ,\beta \in \Lambda \ :\ \langle u_{\alpha },u_{\beta }\rangle =\delta _{\alpha \beta }$ .

הגדרה 2: אם מערכת אורתונורמלית היא מקסימלית, כלומר לא קיימת מערכת אורתונורמלית שונה ממנה המכילה אותה, נאמר שהמערכת האורתונורמלית שלמה.

תנאי זה שקול לכך שהאיבר היחיד שיהיה ניצב לכל אברי המערכת האורתונורמלית הוא 0, שכן אם איבר אחר ניצב למערכת ניתן לנרמל אותו ולהוסיף אותו אליה, ובכך לקבל מערכת גדולה יותר.

תכונות

אי-שוויון בסל

יהי $\ H$ מרחב הילברט כלשהו. תהי $\ \left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }$ מערכת אורתונורמלית ב- $\ H$ , תהי $\{u_{\alpha _{1}},u_{\alpha _{2}},\ldots ,u_{\alpha _{n}}\}$ קבוצה חלקית סופית של $\ \left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }$ , אזי לכל $x\in H$ מתקיים

\ \sum _{i=1}^{n}\left|\langle x,u_{\alpha _{i}}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}

.

הביטויים מהצורה $\ \langle x,u_{\alpha }\rangle$ מכונים מקדמי פורייה. מקדמי פורייה נקבעים על ידי המכפלה הפנימית של האיבר עם אברי המערכת האורתונורמלית (ניתן לחשוב עליהם כעל הטלות של האיבר על איברי הבסיס).

מסקנה מאי שוויון בסל: יהי $\ H$ מרחב הילברט כלשהו. תהי $\ \left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }$ מערכת אורתונורמלית ב- $\ H$ , אזי לכל $x\in H$ יש לכל היותר מספר בן מנייה של מקדמי פוריה שאינם מתאפסים.

מערכת אורתונורמלית שלמה

יהי $\ H$ מרחב הילברט כלשהו. מערכת אורתונורמלית שלמה ב- $\ H$ מקיימת את התכונות הבאות:

אם $\ x\in H$ איבר כלשהו, אז $\ x=\sum _{\alpha \in \Lambda }\langle x,u_{\alpha }\rangle u_{\alpha }$ .
כלומר, יש שוויון באי-שוויון בסל. ניתן להציג כל איבר במרחב בתור צירוף לינארי (אינסופי) של איברים מהבסיס האורתונורמלי. אף על פי שהסכום נלקח לכאורה על קבוצת אינדקסים מעוצמה כלשהי, הרי נובע מן המסקנה לעיל כי כל המקדמים פרט למספר סופי או בן מנייה שווים לאפס, כך שהסכום מוגדר היטב.
שוויון פרסבל: $\ \sum _{\alpha \in \Lambda }\left|\langle x,u_{\alpha }\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}$ .
שוויון פרסבל המוכלל: $\ \sum _{\alpha \in \Lambda }\langle x,u_{\alpha }\rangle {\overline {\langle y,u_{\alpha }\rangle }}=\langle x,y\rangle$ .

שלוש תכונות אלו הן שקולות להיות המערכת האורתונורמלית שלמה. כלומר, די שתתקיים אחת מהתכונות כדי שיתקיימו כל היתר, והמערכת תהיה שלמה.

תכונה חשובה נוספת שמאפיינת מערכות אורתונורמליות שלמות ומזדהה עם תכונה שמקיימים בסיסים במרחב מממד סופי היא שעבור כל מרחב הילברט, עוצמת כל שתי מערכות אורתונורמליות שלמות השייכות לאותו המרחב זהה, ואף יותר מכך: אם בשני מרחבי הילברט שונים קיימות מערכות אורתונורמליות מאותה עוצמה, המרחבים איזומטריים. מכך נובע שקיים מרחב הילברט יחיד עד כדי איזומטריה לכל עוצמה אפשרית של מערכת אורתונורמלית.

כך למשל המרחבים $\ L_{2}[a,b],l_{2}$ , שנראים שונים זה מזה (האחד הוא מרחב של סדרות, והשני מרחב של פונקציות) הם איזומטריים, שכן בשניהם קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה בת מנייה. מרחבים עם קבוצה צפופה בת-מנייה נקראים מרחבים ספרביליים. בפרט, כל מרחב שיש בו מערכת אורתונורמלית שלמה בת מנייה, הוא ספרבילי.

תכונה זו מאפשרת לדבר על הממד של מרחב הילברט בתור עוצמת המערכת האורתונורמלית השלמה שנמצאת בו, וממה שראינו נובע שכל שני מרחבי הילברט מאותו ממד איזומטריים.

בעזרת הלמה של צורן ניתן להראות קיום מערכת אורתונורמלית שלמה בכל מרחב הילברט.

דוגמאות

עבור המרחב $\ \mathbb {R} ^{n}$ קיים בסיס אורתונורמלי מממד $\ n$ המהווה מערכת אורתונומלית שלמה - אוסף הווקטורים $\ e_{i}=(0,0,\dots ,1,0,\dots ,0)$ שמכילים 1 במקום $\ i$ ואפס בשאר. וקטורים אלו מכונים וקטורי היחידה.
עבור המרחב $\ l_{2}$ קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה מממד $\ \aleph _{0}$ - אוסף וקטורי היחידה $\ \left\{e_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ .
עבור המרחב $\ L_{2}[0,2\pi ]$ קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה $\ \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{int}\right\}_{n=-\infty }^{\infty }$ . זוהי המערכת בה משתמשים בפיתוח לטור פורייה מרוכב.