סריג הופכי

סריג הופכי של סריג בראבה מסוים הוא מעין התמרת פורייה של הסריג. לסריג ההופכי חשיבות רבה בפיזיקה כגון בקריסטלוגרפיה באמצעות ניתוח פיזורי קרינה ושיאי בראג.

הגדרה פורמלית

יהי $L$ סריג בראבה. אזי הסריג ההפכי שלו $L^{*}$ מוגדר להיות קבוצת כל הווקטורים ${\vec {k}}$ שמקיימים:

$\forall {\vec {R}}\in L\ :\ e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}=1$

הסריג ההופכי הוא בעצמו סריג בראבה, והסריג ההפכי של הסריג ההפכי הוא הסריג המקורי, כלומר: $(L^{*})^{*}=L$ .

נהוג לומר שוקטורים בסריג המקורי הם "במרחב הממשי" או "בסריג הישר" ואילו וקטורים בסריג ההפכי הם "במרחב $k$" או "במרחב הגל".

בניית הסריג ההפכי

עבור סריג תלת-ממדי אפשר להציג בניה מפורשת של הסריג ההפכי. בנייה זו שקולה להגדרת הסריג ההפכי וקלה יותר לחישוב.

נניח שסריג בראבה שלנו $L$ נוצר על ידי הבסיס הפרימיטיבי הבא $({\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3})$ אזי הסריג ההפכי $L^{*}$ יווצר על ידי הבסיס הפרימטיבי המוגדר להלן:

${\begin{aligned}{\vec {b}}_{1}=2\pi {\frac {{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}}{{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})}}\\{\vec {b}}_{2}=2\pi {\frac {{\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1}}{{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})}}\\{\vec {b}}_{3}=2\pi {\frac {{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}}{{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})}}\end{aligned}}$

ואז מתקיימת "אורתוגונליות" בין הבסיסים במובן הבא:

${\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j}=2\pi \delta _{ij}$

כאשר $\delta _{ij}$ היא הדלתא של קרונקר.

כדאי לשים לב שעד כדי סימן, הביטויים במכנה של הבסיס ההפכי הם נפח תא יחידה פרימיטיבי בסריג המקורי $L$ . עובדה זו מקלה על חישוב הבסיס ההפכי (שכן את הסימן של כל וקטור קובעים לפי תנאי ה"אורותוגנליות" לעיל).

כל נקודה (hkl) בסריג ההפכי מתאימה לקבוצה של מישורי סריג מקבילים (hkl) במרחב הישר (כלומר: בסריג האמיתי). הכיוון של וקטור הסריג ההפכי שווה לכיוונו של הווקטור הנורמלי בין המישורים, וגודלו שווה להפכי של המרחק בין שני מישורים סמוכים (כלומר: מידת הריווח בין המישורים).

אזור ברילואן הוא תא יחידה פרימיטיבי של הסריג ההפכי.

סריגים הופכיים של סריגי בראבה נפוצים

הסריגים ההופכיים של קבוצת הסריגים הקוביים קלה לחישוב.

• סריג קובי פשוט

  קל לראות מהבניה המפורשת שהסריג ההפכי של סריג קובי פשוט בעל צלע באורך a הוא סריג קובי פשוט בעל צלע באורך $\ 2\pi /a$. כלומר: עד כדי שינוי סקלה, הסריג הקובי הוא ההפכי של עצמו.

• סריג קובי ממורכז-פאה (FCC)

  הסריג ההפכי של FCC הוא סריג BCC (ממורכז תא).

• סריג קובי ממורכז-תא (BCC)

  הסריג ההפכי של BCC הוא סריג FCC.

באופן כללי, עבור סריגים שוקטורי הבסיס הפרימיטיביים שלהם אורתוגונליים (כלומר, ניצבים זה לזה), הסריג ההפכי הוא בעצמו מערכת וקטורים אורתוגונלית, באותן כיוונים (כל וקטורי הופכי מקביל למתאים לו בסריג המקורי), אך בסקלה אחרת. כלומר: $\ {\vec {a_{i}}}=\|a_{i}\|{\hat {e_{i}}}$ יעבור ל $\ {\vec {b_{i}}}=(2\pi /\|a_{i}\|){\hat {e_{i}}}$.

הסריג ההפכי של סריג משושה הוא סריג משושה המסובב בזווית 30 מעלות (ובסקלה אחרת, כמובן).

שימושים

הסריג ההפכי הוא בעל תפקיד מרכזי במרבית הניתוחים של מבנים מחזוריים, בפרט בגבישים. התופעה היסודית ביותר בה מופיע הסריג ההפכי היא עקיפה דרך סריג בראבה. בעקיפת קרני X דרך סריג בראבה (בהזנחת תנודות תרמיות של הגביש), ההפרש בין וקטור התנע של הקרן הפוגעת לבין זה של הקרן היוצאת, הוא וקטור סריג הפכי. עובדה זו מאפשרת להשתמש בתבנית העקיפה כדי למצוא את וקטורי הסריג ההפכי ומכאן את מבנהו. באמצעות ידיעת הסריג ההפכי ניתן לחשב את המבנה האמיתי של הסריג הישר ובכך למפות את הגביש.

ראו גם

• סריגי בראבה
• דיפרקציית בראג
• גביש
• קריסטלוגרפיה