שוויון פרסבל

שוויון פרסבל הוא זהות מתמטית אשר מקשרת בין מקדמי טור פורייה לבין הפונקציה היוצרת אותם. שוויון זה, אשר נכתב על ידי מארק אנטואן פרסבל, משמש ככלי חשוב באנליזה הרמונית. בהנדסה, בתחומי התקשורת ועיבוד האותות מייחסים לשוויון את הקשר בין שימור האנרגיה של האות במרחב התדר למרחב הזמן.

הגדרה מתמטית

כל פונקציה מחזורית בקטע $[-\pi ,\pi ]$ אשר מקיימת תנאים מסוימים (תנאי דיריכלה), ניתנת לייצוג כטור פונקציות אינסופי של "הפונקציות ההרמוניות" היסודיות באופן הבא:

f(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{inx}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{inx}

הזהות מציגה את הקשר בין הנורמה של הפונקציה למקדמי טור פורייה שלה באופן הבא: סכום ריבועי הערכים המוחלטים של מקדמי טור פורייה של הפונקציה (בצד שמאל) שווה לאינטגרל (המנורמל) על הפונקציה היוצרת בערך מוחלט בריבוע (בצד ימין). בנוסחה:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx

כאשר c_n הוא מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה ƒ ונתון על ידי

c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.

זהות זו היא מקרה פרטי של שוויון פלנשרל וניתן להוכיחה באמצעות אורתוגונליות.

תנאים מספיקים לקיום השוויון, כלומר סוג של תנאי דיריכלה:

1) הנגזרת החד צדדית של הפונקציה, הימנית והשמאלית, קיימת בכל נקודה. בנוסף, קיימת נגזרת שמאלית בנקודת סוף המחזור ונגזרת ימנית בתחילת המחזור.

2) הפונקציה רציפה בכל נקודה.

3) ובנוסף ערך הפונקציה בתחילת המחזור שווה לערכה בסוף המחזור (כלומר רציפות על פני המחזורים).

הגדרה הנדסית

האנרגיה של האות במרחב הזמן נשמרת וזהה גם בהצגה של האות העובר התמרת פורייה למרחב התדר f.

E=\int _{-\infty }^{+\infty }|X(t)|^{2}~\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {X}}(f)|^{2}~\mathrm {d} f.

כאשר בצד שמאל האות במרחב הזמן ובצד ימין האות עובר התמרת פורייה ובמרחב התדר.
בהצגה של האות במרחב התדר כתלות בתדירות הזוויתית ω להוסיף נרמול בפקטור של 2π.

E=\int _{-\infty }^{+\infty }|X(t)|^{2}~\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {X}}(\omega )|^{2}~\mathrm {d} \omega .

צורות כתיבה נוספות

שוויון פרסבל המוכלל: ${\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx$ כאשר a_0, a_n ו b_n הם מקדמי טור פורייה של הפונקציה ƒ.
עבור מערכת אורתונורמלית שלמה $\ \left\{u_{i}\right\}_{i\in n}$ במרחב הילברט $\ H$ , אם $\ x\in H$ איבר כלשהו, אז ניתן להציג את $\ x,y$ כך: $\ x=\sum _{i\in n}\langle x,u_{i}\rangle u_{i}$ . ומתקיימות שתי הזהויות הבאות:
שוויון פרסבל עם מכפלה פנימית: $\ \sum _{i\in n}\left|\langle x,u_{i}\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}$ .
שוויון פרסבל המוכלל עם מכפלה פנימית: $\ \sum _{i\in n}\langle x,u_{i}\rangle {\overline {\langle y,u_{i}\rangle }}=\langle x,y\rangle$ .