משוואת שרדינגר

משוואת שרדינגר (שידועה גם בשם משוואת הגלים של שרדינגר) היא משוואת התנועה היסודית של מערכות קוונטיות, שהוצעה על ידי הפיזיקאי האוסטרי ארווין שרדינגר ב-1926 ומתארת כיצד מצב קוונטי של מערכת פיזיקלית משתנה לאורך הזמן. משוואת שרדינגר ניתנת להמרה באופן מתמטי למכניקת המטריצות של הייזנברג ולאינטגרלי המסלול של פיינמן, השקולים לה. משוואת שרדינגר מתארת את הזמן באופן היוצר קושי עם תאוריות יחסותיות, בעיה שאינה כה חמורה כמו היחס לזמן במכניקת המטריצות או באינטגרלי המסלול^{[דרושה הבהרה]}. משוואה זו בעלת חשיבות מרכזית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית.

בפרשנות הרגילה למכניקת הקוונטים, המצב הקוונטי הוא התיאור השלם ביותר היכול להינתן למערכת פיזיקלית. פתרונות משוואת שרודינגר מתארים מערכות אטומיות ותת-אטומיות, אלקטרונים ואטומים, אך גם מערכות מיקרוסקופיות, וכנראה גם את כל היקום.

רקע היסטורי

בשנת 1909 הראה ארנסט רתרפורד באמצעות ניסוי פיזור של חלקיקי אלפא על עלה דק של זהב שהמטען החיובי באטום מרוכז באזור קטן מאוד במרחב, הידוע היום בשם 'גרעין האטום'. בעקבות הניסוי הציג רתרפורד מודל של האטום הקרוי המודל הפלנטרי שלפיו האלקטרונים הם חלקיקים קטנים הנעים סביב גרעין האטום באופן דומה לאופן שבו כוכבי הלכת מקיפים את השמש.

בשנת 1913 נילס בוהר פיתח מודל זה, והציג תאוריה הקרויה היום מודל בוהר שממנה משתמע שהאלקטרונים מתנהגים כמו גלים ונעים סביב גרעין האטום באופן הדומה לגלים עומדים. בבסיס המודל הזה היא ההנחה שהתנע הזוויתי של האלקטרונים, בנועם סביב הגרעין, יכול להיות רק כפולות שלמות של קבוע פלנק, ושפליטת אור מתרחשת כאשר האלקטרונים עוברים למסלולים עם אנרגיה נמוכה יותר. מודל זה הראה התאמה מושלמת לספקטרום האנרגיה של אטום המימן וכן הסביר את זמני החיים הארוכים של האטומים (שכן על פי תורת החשמל הקלאסית, אלקטרונים החגים סביב גרעין אמורים לפלוט קרינה שתגרום להם לצנוח לעבר הגרעין). מודל בוהר שלפיו חלקיקים מתנהגים כמו גלים, יחד עם ההסבר של מקס פלאנק לקרינת גוף שחור (משנת 1900) וההסבר של איינשטיין לאפקט הפוטואלקטרי (משנת 1905) - שלפיהם גלי האור מתנהגים כמו חלקיקים, מהווים את הבסיס למה שקרוי היום 'תורת הקוונטים הישנה'.

למרות ההצלחות בפיענוח ספקטרום אטום המימן, המודל של בוהר השאיר שאלות רבות פתוחות. המודל לא נתן הסבר לספקטרום של אטומים ומולקולות מורכבים יותר מהמימן, הוא הראה שהחלקיקים מתנהגים כמו גלים אך לא הסביר מה בדיוק מתנדנד ומהי משוואת הגלים של הטבע. מתן תשובה לשאלות הללו הפך לנושא מחקר מרכזי עבור הקהילה הפיזיקלית, ובפרט עבור קבוצה של תלמידים ומדענים שהובלו על ידי בוהר וכללו אנשים כמו וורנר הייזנברג, מקס בורן ווולפגנג פאולי.

צעד חשוב בדרך למציאת משוואת הגלים הגיע בשנת 1924 כאשר לואי דה ברויי הציג את השערת דה ברויי, לפיה כל חלקיקי החומר בעלי תכונות של גל, ולא רק קרינה אלקטרומגנטית (מושג זה נקרא כיום דואליות הגל-חלקיק):

\lambda ={\frac {h}{p}}

כאשר $\lambda \;$ הוא אורך הגל, $h\;$ הוא קבוע פלאנק ו- $p\;$ הוא תנע החלקיק. דה ברויי הראה כי השערתו מתאימה למשוואתו של פלאנק ופיתוחו של איינשטיין, וכן לתורת היחסות הפרטית. כעת המשוואה של פלאנק התאימה לכל החלקיקים, ולא רק לקרינה האלקטרומגנטית.

צעד נוסף היה בשילוב של רעיונות תורת הקוונטים הישנה עם הפיזיקה הסטטיסטית, שהוחל ביוני 1924 כאשר הפיזיקאי ההודי סאת'ינדרה נאת' בוז (Satyendra Nath Bose) שלח מאמר לאיינשטיין ובו הוכחה חדשה למשוואה של פלאנק. הוא התייחס לפוטונים כאל מולקולות של גז והשתמש בהוכחה בשיטות מן המכניקה הסטטיסטית. בניגוד למכניקה הסטטיסטית הקלאסית של לודוויג בולצמן וג'יימס קלרק מקסוול, בה לכל מולקולה יש ייחוד והחלפה בין שתי מולקולות יוצרת מצב חדש, בוז הניח כי ההחלפה בין שני קוונטים של אור אינה יוצרת מצב חדש. בין השנים 1925-1924 פרסם איינשטיין שלושה מאמרים בהם יישם את רעיונותיו של בוז לגז אידיאלי של מולקולות בהן אטום אחד. המאמרים תמכו ברעיונותיו של בוז בקשר לאופי הגלי של המולקולות וקישרו את רעיונות אלו להשערת דה ברויי.

שנת 1926 הייתה שנת המפתח לפיתוחה של תורת הקוונטים עת התפרסמו שתי גרסאות למשוואת הגלים של החלקיקים. גרסה אחת שהוצגה על ידי ורנר הייזנברג וקרויה היום על שמו משוואת הייזנברג - הניחה שגדלים פיזיקליים (כמו מיקום, תנע ואנרגיה) נקבעים על ידי אופרטורים ואלו מתפתחים עם הזמן - על פי משוואת הגלים שהוא הציג. לעומתו, במקביל להייזנברג פעל ארווין שרדינגר לחיפוש משוואת הגלים באופן שונה.

בשלהי 1925, כתב שרדינגר מאמר שכותרתו הייתה "על התאוריה של גז איינשטיין", שעסק בגז של חלקיקים קוונטים ובוסס על השערת דה ברויי, כמו גם גישתו של איינשטיין לרעיון. ב-1926 פרסם שרדינגר מאמר נוסף שעסק הפעם באטום המימן. בגז החלקיקים הקוונטים אפשר היה להניח כי על חלקיקי הגז הקוונטי לא פועל כוח, ולהזניחו, אך באטום המימן לא היה יכול שרדינגר להתעלם מן הכוח שבין הגרעין לאלקטרון. שרדינגר פיתח משוואה דיפרנציאלית שקשרה בין השינוי בגל כתלות במקום ובין השינוי בו כתלות בזמן, אולם התוצאה לא התאימה לאטום המימן. הוא ניסה שוב, הפעם באמצעות משוואה יחסותית שתיצור הקבלה בין משוואה מן המכניקה המתייחסת לאלקטרון כחלקיק, ובין משוואה המתארת אותו כגל, וגם הפעם נכשל. בפעם השלישית ניסה והצליח לתאר הקשר בביטוי לא יחסותי.

עם פיתוח משוואת הגלים על ידי שרדינגר החלה תקופה קצרה שבה נעשה ניסיון לענות אילו משתי התאוריות השונות היא הנכונה (זו של שרדינגר או זו של הייזנברג). תקופה זו נגמרה כאשר שרדינגר הצליח להראות ששתי הגישות השונות שקולות.

פיתוח המשוואה

בתורת הקוונטים נהוג לתאר את מצבו של חלקיק באמצעות פונקציית גל. לכן נצפה שהמשוואה המתארת את השינוי במצבו של חלקיק בזמן ובמרחב תהיה בעלת מבנה כללי של משוואת גלים, זאת אומרת קשר כלשהו בין הנגזרת המרחבית והזמנית של פונקציית הגל. ובכן, נביט על פונקציית גל המתארת התקדמות של חלקיק חופשי (לכיוון החיובי של ציר האיקס):

$\psi =e^{i\left(kx-\omega t\right)}$

כאשר $\ k$ הוא מספר הגל, ו- $\ \omega \!$ היא התדירות הזוויתית של הגל.

נגזור פעם לפי מקום ופעם לפי זמן:
${\frac {\partial }{\partial x}}\psi =ik\psi$ , ${\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-i\omega \psi$

נזכר בקשר בין מספר הגל לתנע על פי השערת דה ברויי, ובין התדירות לאנרגיה:

$k={\frac {p}{\hbar }}$ , $\omega ={\frac {E}{\hbar }}$

כאשר $\ p$ הוא התנע של החלקיק, $\ E$ - האנרגיה הקינטית שלו, ו- $\hbar \;$ הוא קבוע דיראק (שהוא למעשה קבוע פלאנק חלקי שני פאי).

נציב את הקשרים האלה חזרה לנגזרות ולאחר העברת אגפים נקבל:

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi$ , $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =E\psi$

בעקבות המשוואות דלעיל נבקש לזהות את האופרטור $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$ עם תנע ( $p$ ), ואת האופרטור $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ עם אנרגיה ( $\ E$ ).

כעת, נזכר בקשר הקלאסי בין תנע ואנרגיה עבור חלקיק בעל מסה $m$ : $E={\frac {p^{2}}{2m}}$ השימוש בקשר הקלאסי בין אנרגיה ותנע (ללא התחשבות באנרגיה הפנימית) משמעו שהמשוואה שתתקבל תהיה לא יחסותית. נציב במקום $\ E$ ו- $\ p$ את האופרטורים כפי שנתונים לעיל (נשים לב שהתנע מועלה בריבוע, ולכן יש להפעיל את אופרטור התנע פעמיים), נקבל:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$

וזוהי משוואת שרדינגר לחלקיק חופשי בחד-מימד, זאת אומרת חלקיק הנע לאורך קו ישר ללא השפעת פוטנציאל. המעבר למשוואה כללית יותר הלוקחת בחשבון גם השפעת פוטנציאל $V$ מתבצע על ידי ניחוש מושכל, שמתברר בניסויים כמוצדק. כמו כן, את הפיתוח עשינו אומנם בחד מימד, אך קל להראות שניתן להכליל אותו לתלת-מימד. השינוי יתבטא בהחלפת הנגזרת הכפולה לפי x, באופרטור הלפלסיאן. משוואת שרדינגר, על-כן היא:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$

נגדיר את אופרטור ההמילטוניאן כך:

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V$

ונקבל את צורתה הכללית של המשוואה:

$H\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$

משוואת שרדינגר בצורתה הכללית

בכתיב הכללי ביותר (כתיב ברה-קט) משוואת שרדינגר נראית כך:

\ i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle =H|\psi \rangle

במשוואה זו:

H הוא אופרטור ההמילטוניאן (שמייצג את האנרגיה של המערכת).
i הוא מספר היחידה המדומה, כלומר $\ i^{2}=-1$ .
$\hbar$ הוא קבוע דיראק ("קבוע פלאנק המצומצם") והוא בעל יחידות של תנע זוויתי.

כאשר H בלתי תלוי מפורשות בזמן, הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:

\ |\psi _{(t)}\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi _{(0)}\rangle

ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.

את הפתרון הנ"ל אפשר לפתח בבסיס המצבים העצמיים של ההמילטוניאן. נסמן $\ H|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ כאשר $E_{n}$ הם האנרגיות העצמיות. מאחר ש-H הרמיטי, המצבים העצמיים אורתונורמלים, כלומר $\langle n|m\rangle =\delta _{n,m}$ , ולכן אפשר להשתמש בהתמרת פורייה ולקבל ש:

|\psi _{(t)}\rangle =\sum _{n}{e^{-iE_{n}t/{\hbar }}|n\rangle \langle n|\psi _{(0)}\rangle }

משוואת שרדינגר בבסיס המקום

בבסיס המקום במקום לדבר על מצב קוונטי ערטילאי, מדברים על המיקום והתנע של החלקיק. בעקבות ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כסופרפוזיציה קוונטית של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק.

\ \psi ({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int {\phi ({\vec {p}})e^{{i \over \hbar }{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}\ dp}

תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות, כפי שהתגלה בניסוי.

באופן פורמלי, פונקציית הגל $\ \psi ({\vec {r}})$ מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר: $\psi ({\vec {r}})=\langle {\vec {r}}|\psi \rangle$ .

בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ $\ p=-i{\hbar }{\vec {\nabla }}$ ולכן משוואת שרדינגר נהיית:

i\hbar {\frac {\partial \psi \left(t,{\vec {r}}\right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \left(t,{\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left(t,{\vec {r}}\right)

זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית שאפשר לפתור באמצעות הפרדת משתנים ותורת שטורם-ליוביל על ידי מציאת מצבים עצמיים של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן.

כאשר החלקיק נמצא תחת השפעת פוטנציאל אלקטרו-מגנטי ההמילטוניאן הוא

{\mathcal {H}}={\frac {({\vec {p}}-e{\vec {A}})^{2}}{2m}}+e\varphi

כאשר A הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי ו- $\varphi$ הוא הפוטנציאל החשמלי. במקרה זה יש להציב צורה זו במשוואת שרודינגר ולהחליף את התנע באופרטור גזירה כאמור לעיל.

פתרון המשוואה

השיטה לפתור את המד"ח (משוואה דיפרנציאלית חלקית) של שרדינגר היא באמצעות הפרדת משתנים. מנחשים פתרון מהצורה

\psi (t,{\vec {r}})=T(t)\cdot \Psi (r)

מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים

i\hbar \Psi \cdot {\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}T\cdot \nabla ^{2}\Psi +V({\vec {r}})T\Psi

מחלקים ב $\psi =T(t)\cdot \Psi ({\vec {r}})$ ומקבלים

i\hbar {\frac {1}{T(t)}}\cdot {\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {1}{\Psi ({\vec {r}})}}\cdot {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\cdot \nabla ^{2}\Psi +V({\vec {(}}r))

אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין רק במרחב, והם שווים תמיד לכן קבועים. נקרא לקבוע ההפרדה $E$ (שכן הוא מה שאנחנו תופסים כאנרגיה). המשוואה עבור הזמן תהיה (לאחר העברת אגפים)

{\frac {\partial T}{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}T(t)

שפתרונה הוא האקספוננט המדומה

T(t)=e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}

. נשים לב רק שE הוא קבוע עבור פתרון ספציפי, אבל ישנה סדרה של פתרונות ולכן נהוג לסמן אותו כ

E_{n}

.

כעת נותרנו עם הפונקציה $\psi (t,{\vec {r}})=e^{-iEt/{\hbar }}\Psi ({\vec {r}})$ , ועבור $\Psi$ מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

E\Psi ({\vec {r}})={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\vec {r}})+V({\vec {r}})\Psi ({\vec {r}})

זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות $\Psi _{n}$ כך ש

\ H\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}

,

כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש $\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle =1$ . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים.

מאחר שזו משוואה ליניארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:

\psi (t,{\vec {r}})=\sum _{n}{A_{n}\Psi _{n}({\vec {r}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t}}

מאחר ש H הוא אופרטור הרמיטי, מובטח לנו ממשפט הילברט שקיים בסיס של מצבים עצמיים אורתונורמליים, כלומר $\langle \psi _{n}|\psi _{m}\rangle =\delta _{n,m}$ . לכן, ניתן להציג כל פונקציית גל במרחב הילברט של הבעיה כסכום (ליתר דיוק טור אינסופי) של המצבים העצמיים (כאשר מדובר בחלקיק חופשי, פיתוח כזה קרוי פיתוח פורייה).

את מקדמי הפיתוח $A_{n}$ ניתן לקבוע באמצעות ידיעת פונקציית הגל ההתחלתית (כלומר: $\ \psi (0,{\vec {r}})$ , באופן זהה לחלוטין הנעשה עבור טור פורייה כמו כן, נהוג לנרמל את פונקציית הגל כך ש: $\langle \psi \mid \psi \rangle =1$ . לעיתים אין זה אפשרי (כמו במקרה של אופרטור התנע) ומתקבלות פונקציות עצמיות כך ש $\langle \psi _{n}\mid \psi _{n}\rangle =\infty$ - ולא ניתן לנרמל אותן. כך חייבים לוותר על האורתונורמליות (ונשארים רק עם אורתוגונליות) אבל במקום זאת בוחרים פונקציות שיקיימו את נרמול דיראק ויקיימו $\langle \psi _{\alpha }\mid \psi _{\beta }\rangle =\delta (\alpha -\beta )$ כאשר הפונקציה מימין היא פונקציית דלתא של דיראק. כך עושים עבור אופרטור התנע בחד מימד ${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$ (וגם בממדים רבים - ${\hat {\vec {p}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ ) ובוחרים את הבסיס $e^{ikx}$ לכל k ממשי (ובממדים רבים - $e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$ ). בסיס זה הוא הבסיס של התמרת פורייה ואכן, במכניקת הקוונטים התמרת פורייה מזוהה עם מעבר לבסיס הפונקציות העצמיות של התנע - מה שלעיתים מפשט את הפתרון (בדיוק כפי שהתמרת פורייה מפשטת לעיתים משוואות דיפרנציאליות).