sinc

פונקציית ה-sinc המנורמלת (בכחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור $\ -6\pi \leq x\leq 6\pi$.

במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת $\mathrm {sinc} (x)\,$, יש שתי הגדרות:

1. בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:

   $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.$

2. במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:

   $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}.$

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה $\ 0=x$ לעיתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".

תכונות

לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

• $\mathrm {sinc} (0)=1\,$ ו $\mathrm {sinc} (k)=0\,$ עבור $k\neq 0\,$ and ו $k\in \mathbb {Z} \,$ (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
• הפונקציות $x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\$ יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות $L^{2}(\mathbb {R} )$ עם תדירות זוויתית מקסימלית $\omega _{\mathrm {H} }=\pi \,$ (כלומר התדירות המקסימלית היא $f_{\mathrm {H} }=1/2\,$).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:

• נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת   ${\frac {\sin(x)}{x}}\,$   מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר ${\frac {\sin(x)}{x}}=\cos(x)\,$ לכל נקודה בה הנגזרת של ${\frac {\sin(x)}{x}}\,$ היא 0.
• פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, $j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}\,$. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת $j_{0}(\pi x)\,$.
• האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי ($\pi \,$). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,$ הם מספרים שלמים השונים מאפס.
• התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,$   הוא  $\mathrm {rect} (f)\,$.

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)$,

כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.

• אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1$

הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\ dx=\infty \,$

• $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$
• $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}$

כאשר $\Gamma (x)$ היא פונקציית גאמה.

• $\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)$

כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).

• לפי נוסחת אוילר:

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}}\,$

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק

למרות שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק $\ \delta (x)$ כך:

$\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x)$

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

$\lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),$

לכל פונקציה חלקה $\varphi (x)$ עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של $\ \pm 1/(\pi x)$, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של $\ \delta (x)$ כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

ראו גם

• אנטי אליאסינג
• מסנן sinc
• הגבול של sin(x)/x
• נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

קישורים חיצוניים

• sinc באתר MathWorld