sinc
.svg)
במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת $ \mathrm {sinc} (x)\, $, יש שתי הגדרות:
- בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:
- $ \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}. $
- במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:
- $ \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}. $
בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה $ \ 0=x $ לעיתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.
המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".
תכונות
לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):
- $ \mathrm {sinc} (0)=1\, $ ו $ \mathrm {sinc} (k)=0\, $ עבור $ k\neq 0\, $ and ו $ k\in \mathbb {Z} \, $ (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
- הפונקציות $ x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\ $ יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות $ L^{2}(\mathbb {R} ) $ עם תדירות זוויתית מקסימלית $ \omega _{\mathrm {H} }=\pi \, $ (כלומר התדירות המקסימלית היא $ f_{\mathrm {H} }=1/2\, $).
תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:
- נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת $ {\frac {\sin(x)}{x}}\, $ מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר $ {\frac {\sin(x)}{x}}=\cos(x)\, $ לכל נקודה בה הנגזרת של $ {\frac {\sin(x)}{x}}\, $ היא 0.
- פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, $ j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}\, $. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת $ j_{0}(\pi x)\, $.
- האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי ($ \pi \, $). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת $ \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\, $ הם מספרים שלמים השונים מאפס.
- התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת $ \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\, $ הוא $ \mathrm {rect} (f)\, $.
- $ \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f) $,
- כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.
- אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי
- $ \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1 $
- הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:
- $ \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\ dx=\infty \, $
- $ \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right) $
- $ \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}} $
- כאשר $ \Gamma (x) $ היא פונקציית גאמה.
- $ \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x) $
- כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
- לפי נוסחת אוילר:
- $ \mathrm {sinc} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}}\, $
הקשר לפונקציית דלתא של דיראק
למרות שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק $ \ \delta (x) $ כך:
- $ \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x) $
זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:
- $ \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\varphi (0), $
לכל פונקציה חלקה $ \varphi (x) $ עם תומך קומפקטי.
בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של $ \ \pm 1/(\pi x) $, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של $ \ \delta (x) $ כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.