פונקציית ה-sinc המנורמלת (ב
כחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (ב
אדום) מוצגות על אותה סקלה עבור
![{\displaystyle \ -6\pi \leq x\leq 6\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acd73138f3a082e23750204d45773c7be80588a)
.
במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת
, יש שתי הגדרות:
- בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfd6b1dd5cf2d8853ce9edacfaaf9a1fd602149)
- במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a267491bd8f5a60dfc5d1d68911f0d4ce4dabc40)
בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה
לעיתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.
המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".
תכונות
לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):
ו
עבור
and ו
(כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
- הפונקציות
יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות
עם תדירות זוויתית מקסימלית
(כלומר התדירות המקסימלית היא
).
תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:
- נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת
מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר
לכל נקודה בה הנגזרת של
היא 0.
- פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון,
. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת
.
- האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (
). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת
הם מספרים שלמים השונים מאפס.
- התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת
הוא
.
,
- כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.
- אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fb114afb1ffd51d7590ae4e95a4a56238d9864)
- הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\ dx=\infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee3d8f8feac7bd9ad8288023c3edcfbca9d0cfb)
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3f50ab5b42f09d5a862a27530227433edae506)
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5bb46711cf82e81d7db909fd225b48d9ec0aa7)
- כאשר
היא פונקציית גאמה.
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73b1eba0f83de8e55097f865b6bad2c59a298a1)
- כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46bbf2546684586061c706640bfbb161e7dcda8f)
הקשר לפונקציית דלתא של דיראק
למרות שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק
כך:
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf6c65d6cd24b4ac6f2ebefd6378bbcfaddb245)
זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c61e08f4620332bbe5a462fc519211b05f8c91b)
לכל פונקציה חלקה
עם תומך קומפקטי.
בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של
, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של
כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.
ראו גם
קישורים חיצוניים