אופרטור אוניטרי

באלגברה לינארית, אופרטור אוניטרי הוא אופרטור לינארי של מרחב מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים, המקיים את התנאי $\ UU^{*}=U^{*}U=I$, כאשר $\ U^{*}$ הוא הצמוד ההרמיטי של $\ U$' ו-$\ I$ הוא אופרטור הזהות. באופן דומה, מטריצה ריבועית מרוכבת A היא אוניטרית אם $\ AA^{*}=I$, כאשר $\ A^{*}$ הוא הצמוד המרוכב של המטריצה המשוחלפת $\ A^{t}$ (ההגדרות מתלכדות, אם חושבים על המטריצה כאופרטור $\ \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}$, ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הווקטורים) ו-$\ I$ היא מטריצת היחידה. אופרטור אוניטרי אנלוגי במובנים רבים למספר מרוכב שערכו המוחלט הוא 1, וזאת בגלל הקשר בין מושג הצמידות ההרמיטית למושג ה"צמוד המרוכב", ומשום שכל מספר מרוכב z שערכו המוחלט הוא 1 מקיים: $z{\bar {z}}=1$.

הגדרה שקולה

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים עם מכפלה פנימית.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : V \rightarrow V} יקרא אופרטור אוניטרי אם מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle f(u) , f(v) \rangle = \langle u , v \rangle } לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u, v} ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} .

שמירת מרחק

אופרטור אוניטרי שומר על הגאומטריה של המרחב. הוא אינו משנה אורך של וקטורים, ושומר גם על הזוויות. למעשה כל אופרטור שומר אורך (כלומר, המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|U(x)\|=\|x\|} לכל $x$) הוא אוניטרי. הדוגמה המובהקת לאופרטור אוניטרי הוא סיבוב של או שיקוף של המרחב, שאפשר לתאר גם כהחלפה של בסיס אורתונורמלי אחד באחר (אכן, מטריצת המעבר בין בסיסים אורתוגונליים היא אוניטרית). בפרט, העמודות של מטריצה אוניטרית מהוות בסיס אורתונורמלי.

במכניקת הקוונטים אופרטור אוניטרי מייצג פעולה שמכבדת את חוקי השימור, לרוב את חוק שימור ההסתברות וחוק שימור זרם ההסתברות.

חבורת המטריצות האוניטריות

אוסף המטריצות האוניטריות הוא חבורה ביחס לכפל מטריצות. הדטרמיננטה היא הומומורפיזם מן החבורה הזו אל החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1} של מספרים מרוכבים בעלי ערך מוחלט 1. הגרעין הוא אוסף המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה 1, הנקראות מטריצות אוניטריות מיוחדות.

לחבורות אלה יש חשיבות רבה בתורת שדות ובמודל הסטנדרטי. הפיזיקאים יובל נאמן ומארי גל-מן הראו שאפשר למיין את הקווארקים לקבוצות באמצעות חבורת הסימטריה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ SU(3)} .

הקשר לטיפוסי מטריצות אחרים

מטריצה ממשית אוניטרית היא מטריצה אורתוגונלית; העמודות של מטריצה כזו מהוות בסיס אורתונורמלי, וכן גם השורות שלה.

אם A אופרטור הרמיטי אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U = \exp{(iA)}} הוא אופרטור אוניטרי, וכל אופרטור אוניטרי הוא בעל צורה כזו.

ראו גם

• חבורת SU
• אופרטור
• מטריצה
• שדה המספרים המרוכבים
• אלגברה לינארית
• מרחב הילברט
• העתקה צפידה

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0