שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{n}] $, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר $ \ U_{n} $. בפרט, ממד ההרחבה הוא $ \ \phi (n) $, כאשר $ \ \phi $ היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של $ \ \zeta _{n} $ הוא הפולינום הציקלוטומי $ \ \Phi _{n} $.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{1}]=\mathbb {Q} [\zeta _{2}]=\mathbb {Q} $; $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{3}]=\mathbb {Q} [\zeta _{6}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}] $ (משום ש-$ \ \zeta _{3}={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}} $); $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{4}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}] $; $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{5}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {\frac {-(5+{\sqrt {5}})}{2}}}] $; ו- $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}}] $. מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{nm}]=\mathbb {Q} [\zeta _{n},\zeta _{m}] $. למשל, $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{24}]=\mathbb {Q} [\zeta _{3},\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}] $.

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{n}] $ מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם $ \ \phi (n) $ הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, $ \ \cos({\frac {2\pi }{17}})={\frac {{\frac {{\sqrt {17}}-1}{2}}+{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}+{\sqrt {(3+{\sqrt {17}})({\sqrt {17}}-{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}})}}}{8}} $.

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי $ \ \mathbb {Z} [\zeta _{p}] $. הדיסקרימיננטה של ההרחבה $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q} $ היא $ \ (-1)^{(p-1)/2}p^{p-2} $, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של $ \ p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p $ (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- $ \ {\sqrt {5}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{5}] $, ובדומה לזה $ \ {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{7}] $). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{m}] $. הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה $ \ \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q} $ הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: $ \ \langle p\rangle =\langle 1-\zeta _{p}\rangle ^{p-1} $.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009
• שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שדה ציקלוטומי30259948Q1554628