שדה המספרים הניתנים לבנייה
שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה.
אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואבר היחידה של השדה). הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.
לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך 0 ו־1, ואת שני המעגלים שרדיוסם 1, ומרכזיהם 0 ו־1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות $ -1,2,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}},{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}} $ . כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.
לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף S של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב־$ S $ סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך $ x\mapsto {\frac {1}{x}} $ . מזה נובע כי $ S $ (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על־פי משפט דה-מואבר) מוכח כי $ S $ סגור גם לכפל וחילוק.
תכונה חשובה של השדה $ S $ היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב־$ S $ שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות). למעשה, $ S $ הוא תת־השדה הקטן ביותר של $ \mathbb {C} $ הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת 2, ולהפך: הממד של סגור גלואה של כל תת־שדה מממד סופי של $ S $ הוא חזקת 2. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת 2 (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל־$ S $ , ולכן אינו ניתן לבנייה.
הבעיות הגאומטריות של ימי קדם
כדי להראות שהבעיות הגאומטריות של ימי קדם אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות:
- אי אפשר להכפיל את הקובייה, משום שהצלע המבוקשת $ {\sqrt[{3}]{2}} $ , יוצרת שדה מממד 3.
- אי אפשר לבנות זווית של 20 מעלות, משום ש־$ \cos(20^{\circ }) $ הוא שורש של הפולינום האי־פריק $ 8x^{3}-6x-1 $ (את הזווית של 60 מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים).
- אי אפשר לרבע את המעגל משום ש־$ {\sqrt {\pi }} $ מספר טרנסצנדנטי ולכן אינו ניתן לבנייה.
- אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי $ x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 $ , ו־6 אינו חזקה של 2.
| מערכות מספרים | ||
|---|---|---|
| מספרים | המספרים הטבעיים $ \mathbb {N} $ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים $ \mathbb {Z} $ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים $ \mathbb {Q} $ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים $ \mathbb {R} $ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים $ \mathbb {C} $ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) | |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס $ \ \mathbb {Z} [i] $ • חוג השלמים האלגבריים $ \ {\overline {\mathbb {Z} }} $ • חוג השלמים של אייזנשטיין $ \ \mathbb {Z} [\omega ] $ | |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים $ \ {\overline {\mathbb {Q} }} $ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים $ \mathbb {Q} _{p} $ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי | |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון $ \ {\mathbb {H} } $) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי $ \ {\mathbb {O} } $) • אלגברות קיילי-דיקסון | |