חוג השלמים של אייזנשטיין

השלמים של אייזנשטיין כנקודות של הסריג המשולשי המשוכלל במישור המרוכב.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, חוג השלמים של אייזנשטיין הוא החוג $\mathbb {Z} [\omega ]=\{a+b\omega :a,b\in \mathbb {Z} \}$ כאשר $\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i=\exp \left({\frac {2\pi }{3}}i\right)$ הוא שורש שלישי פרימיטיבי של היחידה. אברי החוג, הנקראים מספרי אייזנשטיין (ולפעמים מספרי אוילר), מרכיבים סריג משולשי במישור המרוכב, בדומה לשלמים של גאוס, היוצרים סריג ריבועי. השלמים של אייזנשטיין מופיעים בהוכחה של לנדאו למקרה $n=3$ במשפט האחרון של פרמה, שאותו הוכיחו אוילר ולז'נדר באופן ישיר יותר.

חוג השלמים של אייזנשטיין הוא תחום שלמות אוקלידי, שהוא חוג השלמים של שדה המספרים $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$. את פעולת הכפל אפשר לחשב מן הזהות $\omega ^{2}+\omega +1=0$. הנורמה של מספרי אייזנשטיין היא $N(a+b\omega )=(a+b\omega )(b+b\omega ^{-1})=a^{2}-ab+b^{2}$. בחוג הזה יש שישה איברים הפיכים: החזקות של $-\omega$.

הראשוניים של אייזנשטיין

הראשוניים בחוג השלמים של אייזנשטיין שייכים לשלוש קבוצות: (1) ראשוניים טבעיים השקולים ל-2 מודולו 3; (2) המספר $1-\omega$, שהנורמה שלו היא 3; (3) מספרי אייזנשטיין בעלי נורמה ראשונית השקולה ל-1 מודולו 3 (כגון $3+2\omega$ שהנורמה שלו 7, או $3-2\omega$ שהנורמה שלו 19).

טור אייזנשטיין

סכום החזקות הרביעיות של כל ההופכיים של שלמי אייזנשטיין למעט 0 הוא:

$$\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$$

כך ש-$e^{2\pi i/3}$ הוא שורש של אינווריאנט j ("הקבוע האבסולוטי של קליין"). בגלל שאינווריאנט j הוא פונקציה חד-חד ערכית על תחום יסודי במישור המרוכב, זהו גם השורש היחידי שלו בתחום יסודי נתון, מה שמקנה לסריג המשולשי של שלמי אייזנשטיין חשיבות מיוחדת בהקשר אליו. באופן כללי $G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ אם ורק אם $k\not \equiv 0{\pmod {6}}$.

סכום כל ההופכיים של שלמי אייזנשטיין (למעט 0) כאשר הם מועלים לחזקה שישית ניתן לביטוי במונחי פונקציית גמא:

$$\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}$$

כאשר E הם שלמי אייזנשטיין ו-G₆ הוא טור אייזנשטיין ממשקל 6.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חוג השלמים של אייזנשטיין בוויקישיתוף

• חוג השלמים של אייזנשטיין, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חוג השלמים של אייזנשטיין40381869Q262370