הרחבת שדות

באלגברה ובעיקר בתורת השדות, הרחבה של שדות מתארת מצב שבו שדה אחד מכיל שדה אחר, באופן שפעולות החיבור והכפל בשדה הגדול מסכימות עם אלו המוגדרות בשדה הקטן. השדה הקטן נקרא שדה הבסיס.

לאמירה שהשדה הקטן הוא תת שדה של השדה הגדול יש אותה משמעות; מתייחסים להכלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \subseteq K} של שדות כאל הרחבה כאשר הדגש הוא על האופן שבו נבנה השדה הגדול $\,K$ מן השדה הקטן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} , וכאל תת שדה במקרה ההפוך, שבו רוצים להבדיל את אברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} משאר האברים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,K} . זוהי הבחנה מתודית בלבד, ואין לה משמעות מתמטית.

את ההרחבה $\ F\subseteq K$ מסמנים לפעמים בסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} .

הרחבה היא בדרך כלל תהליך אלגברי, שבו מוסיפים לשדה הבסיס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} איברים חדשים. יש דרכים אחרות לבנות הרחבות, כאשר שדה הבסיס מצויד במבנה נוסף, כגון סדר או הערכה – ראו השלמה של שדה.

דוגמאות

להלן כמה דוגמאות להרחבות של שדות; המושגים יוסברו בהרחבה בהמשך.

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})} , הרחבה פשוטה מממד 2.
• $\ \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} =\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})$, הרחבה פשוטה מממד 2.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\cos 20^{\circ})} , הרחבה פשוטה מממד 3 (ראו שילוש זווית).
• ההרחבה של שדה המספרים האלגבריים מעל הרציונליים - אלגברית, אבל אינה נוצרת סופית.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}} – הרחבה זו אינה אלגברית, ואינה נוצרת סופית.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \overline{F}} הוא הסגור האלגברי של $\,F$, אז ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\subseteq \overline{F}} אלגברית, אבל בדרך כלל אינה נוצרת סופית.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_{\mbox{sp}}} הוא הסגור הספרבילי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} , אז ההרחבה הראשונה בשרשרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\subseteq F_{\mbox{sp}} \subseteq \overline{F}} היא ספרבילית, והשנייה היא לא-ספרבילית טהורה.
• שדה הפונקציות הרציונליות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(x)} הוא הרחבה טרנסצנדנטית פשוטה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} .
• $\ \mathbb {F} _{3}(t)[x]/\langle x^{3}-x-t\rangle$ היא הרחבת גלואה מממד 3 של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{F}_3(t)} .
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{F}_3(t)[x]/\langle x^3-t\rangle = \mathbb{F}_3(t^{1/3})} היא הרחבה לא-ספרבילית פשוטה מממד 3 של $\ \mathbb {F} _{3}(t)$.

יוצרים של הרחבה

לכל הרחבה יש קבוצת יוצרים: תת-קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,S} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,K} היא קבוצת יוצרים של ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} , אם אפשר לקבל כל איבר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,K} באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) מן האברים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,S} והמקדמים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} . במקרה זה אין אף תת-שדה המכיל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} ואת $\,S$, מלבד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,K} עצמו, כלומר K הוא השדה המינימלי שמכיל גם את השדה F וגם את איברי S; כותבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=F(S)} , ואם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S=\{a_1,\dots,a_n\}} כותבים גם $\ K=F(a_{1},\dots ,a_{n})$. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} תת-שדה של שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,E} המכיל גם קבוצת איברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,S} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(S)} הוא תת-השדה הקטן ביותר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,E} המכיל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} ואת $\,S$.

מבחינים בין כמה סוגים של הרחבות. ראשית, ההרחבה נוצרת סופית אם יש לה קבוצת יוצרים סופית, ואינה נוצרת סופית אם אין לה קבוצת יוצרים כזו. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} שדה אינסופי וההרחבה נוצרת סופית (או אפילו נוצרת על ידי קבוצה בת מנייה), אז העוצמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,K} שווה לזו של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} . לדוגמה, כיוון שהעוצמה של שדה המספרים הממשיים $\ \mathbb {R}$ גדולה מזו של שדה המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}} , ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}/\mathbb{Q}} אינה נוצרת סופית.

הרחבות פשוטות

הרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} היא הרחבה פשוטה אם היא נוצרת על ידי איבר אחד. הרחבות כאלה אפשר ללמוד באופן הבא, שמדגים את ההבדל בין הרחבות אלגבריות לשאינן כאלה.

נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=F(a)} , כלומר, תת-השדה הקטן ביותר של K המכיל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} ואת a הוא K עצמו. אפשר להגדיר הומומורפיזם מחוג הפולינומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F[\lambda]} לשדה K, על ידי הצבה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(\lambda)\mapsto f(a)} . תמונת ההומומורפיזם היא תת-חוג של שדה, ולכן היא תחום שלמות. מכאן נובע שהגרעין של ההומומורפיזם הוא אידאל ראשוני. יש שתי אפשרויות: ייתכן שהגרעין שווה לאפס; כלומר, הומומורפיזם ההצבה הוא שיכון, ואין פולינום המאפס את a; במלים אחרות, a טרנסצנדנטי, ואז התמונה של הומומורפיזם ההצבה היא חוג הפולינומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F[a]} , שאינו שדה. האפשרות האחרת היא שהגרעין אינו אפס; במקרה זה, מכיוון שחוג הפולינומים הוא אוקלידי, האידאל חייב להיות אידאל מקסימלי, והתמונה שלו שווה ל-K. הגרעין נוצר על ידי פולינום אי-פריק f מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} , שהוא הפולינום המינימלי של a.

הרחבה ממימד סופי K/F היא פשוטה אם ורק אם יש לה מספר סופי של הרחבות ביניים (תת-שדות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \subset L \subset K} ).

אלגבריות וממד

שדה-הרחבה K הוא תמיד מרחב וקטורי מעל שדה הבסיס, כאשר פעולת הכפל בסקלר היא פעולת הכפל בשדה הגדול (מצומצמת מפעולה $\ K\times K\rightarrow K$ לפעולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\times K\rightarrow K} ). בפרט, יש להרחבה ממד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [K:F] = \dim_F K} , שהוא הממד של K כמרחב וקטורי מעל F. לממדים יש תכונת כפליות שימושית: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\subseteq K \subseteq E} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [E:K][K:F]=[E:F]} .

איבר a של K הוא איבר אלגברי אם קיים פולינום בעל מקדמים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} , אשר a הוא שורש שלו. אם כל האיברים של K הם אלגבריים, אומרים שההרחבה היא הרחבה אלגברית. כל הרחבה אלגברית נוצרת סופית היא בעלת ממד סופי, וכל הרחבה בעלת ממד סופי היא הרחבה אלגברית נוצרת סופית. לעומת זאת, קיימות הרחבות אלגבריות שאינן נוצרות סופית, כמו זו של שדה המספרים הניתנים לבנייה מעל הרציונליים, או של הסגור האלגברי של שדה סופי, מעל השדה.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S \sub K} היא תת-קבוצה כלשהי, הסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F[S]} מתאר את תת-החוג הקטן ביותר של K המכיל את F ואת S (בהשוואה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(S)} , שהוא תת-השדה הקטן ביותר; כמובן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F[S]\subseteq F(S)} ). אם כל האיברים של הקבוצה S אלגבריים, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F[S]} הוא שדה, ובמקרה זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(S)=F[S]} .

פירוק למרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי

אוסף האברים האלגבריים ב-K מהווה תת-שדה שלו, הנקרא הסגור האלגברי היחסי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} ב-K. בהרחבה אלגברית, כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}} , הסגור הזה הוא K. אם אין ב- K אף איבר אלגברי פרט לאברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} , (כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} הוא הסגור האלגברי היחסי), אומרים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} סגור אלגברית בהרחבה. (אין פירושו של דבר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} הוא שדה סגור אלגברית, אלא רק שבמובן מסוים, החיתוך של K עם הסגור האלגברי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} ). מקרה חשוב במיוחד של יחס זה בין השדות הוא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, שהיא הרחבה בה קיימת קבוצת יוצרים שאבריה אינם מקיימים אף יחס (כלומר, לא קיים פולינום בכמה משתנים, שאם מציבים בו יוצרים שונים מתקבל אפס).

כל הרחבה אפשר לפרק לשרשרת של הרחבות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\subseteq F_1 \subseteq K} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\sub F_1} היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, ואילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_1 \subseteq K} אלגברית (Steinitz ,1948); אם ההרחבה המקורית נוצרת סופית, להרחבה האחרונה יהיה ממד סופי. למספר היוצרים הקטן ביותר האפשרי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_1/F} קוראים דרגת הטרנסצנדנטיות של ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} . הפירוק אפשרי רק בסדר זה: בדרך כלל אי-אפשר לפרק הרחבות כך שקודם יבוא המרכיב האלגברי, ואז המרכיב הטרנסצנדנטי. אם ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \subseteq K} אלגברית, אז הפירוק יהיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F=F_1\subseteq K} , שהרי K אינו מכיל אף איבר טרנסצנדנטי מעל $\,F$.

דוגמה: נסמן ב- $\ F=\mathbb {F} _{2}$ את השדה הסופי בן שני אברים, ונסמן ב- x,y שני משתנים מעל שדה זה, המקיימים את היחס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^2+y=x^3+1} , שאותו נסמן באות E. שדה הפונקציות של העקום האליפטי E הוא, על-פי ההגדרה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=F(x,y|y^2+y=x^3+1)} . השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} סגור אלגברית ב-K, ועם זאת ההרחבה אינה טרנסצנדנטית טהורה (מפני שהיוצרים x,y קשורים זה בזה ביחס E). לשדה זה יש תת-שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_1 = F(x)} , שהוא הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} , וההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F_1} בעלת ממד 2.

ספרביליות

בהרחבה אלגברית יש שני סוגים של אברים: אלו שהפולינום המינימלי שלהם ספרבילי, ואלו שאינם כאלה. אברים לא-ספרביליים יכולים להתקיים רק כאשר המאפיין של שני השדות הוא ראשוני, p. הרחבה שבה כל אברי K הם ספרביליים נקראת הרחבה ספרבילית של שדות; כל הרחבה במאפיין אפס היא ספרבילית, אבל יש גם הרחבות ספרביליות במאפיין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0<p} . למשל, כל הרחבה שבה השדה הגדול סופי היא ספרבילית. לפי משפט האיבר הפרימיטיבי, כל הרחבה ספרבילית נוצרת סופית היא הרחבה פשוטה (כלומר, אפשר להחליף מספר סופי של יוצרים ספרביליים ביוצר אחד).

פירוק למרכיב ספרבילי ומרכיב לא-ספרבילי טהור

אוסף האברים הספרביליים מהווה תת-שדה של K, הנקרא הסגור הספרבילי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} ב-K (ומוכל כמובן בסגור האלגברי היחסי). אם כל האברים של K (פרט לאלו של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} ) אינם ספרביליים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F} , אז ההרחבה היא הרחבה לא-ספרבילית טהורה.

בהמשך הסעיף נניח שהשדות ממאפיין p ראשוני. אוסף חזקות-p בשדה K מהווה תת-שדה שלו, אותו מסמנים ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K^p} . באופן זה אפשר ליצור שרשרת יורדת של שדות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ...\subseteq K^{p^2}\subseteq K^p\subseteq K} , שאת חיתוכה מסמנים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K^{p^{\infty}}} . אם הממד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} סופי, הסדרה חייבת כמובן להתייצב. ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/K^{p^n}} היא הרחבה לא-ספרבילית טהורה.

ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} היא ספרבילית אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=K^{p}} . מכיוון שהשדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K^{p^{\infty}}} מקיים תכונה זו, ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K^{p^\infty}/F} מוכרחה להיות ספרבילית. כך הוכחנו שכל הרחבה אלגברית אפשר לפרק לשרשרת של שתי הרחבות, הראשונה ספרבילית והשנייה לא-ספרבילית טהורה.

חבורת האוטומורפיזמים

לכל הרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} אפשר להתאים את החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Aut}(K/F)} של האוטומורפיזמים של K השומרים על אברי F. חבורה זו היא בעלת חשיבות עליונה בחקירת ההרחבה, והיא נקראת חבורת גלואה של ההרחבה (אם כי לעיתים שומרים מונח זה רק לחבורות האוטומורפיזמים של הרחבות גלואה).

דוגמה. חבורת האוטומורפיזמים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}/\mathbb{Q}} היא טריוויאלית. הסיבה היא שכל אוטומורפיזם (של המבנה האלגברי) חייב לשמור על תת-הקבוצה של הריבועים, ולכן על הסדר של השדה. מכאן נובע שהוא רציף, ולכן שומר על גבולות. אבל המספרים הרציונליים צפופים בממשיים, ולכן כל פונקציה רציפה שלא מזיזה את המספרים הרציונליים בהכרח גם לא תזיז את המספרים הממשיים.

ראו גם

• תורת גלואה
• הרחבת גלואה
• שדה פיצול
• אלגברה (מבנה אלגברי)
• מספר טרנסצנדנטי

לקריאה נוספת

• G. Karpilovsky, Topics in Field Theory, North-Holland Mathematics Study 155, 1989.
• G. Karpilovsky, Field Theory: classical foundataions and multiplicative groups, Pure and Applied mathematics 120, 1988.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0