משפט האיבר הפרימיטיבי

בתורת השדות, משפט האיבר הפרימיטיבי מאפשר לקבוע שהרחבת שדות מסוימת היא פשוטה, כלומר שאם ההרחבה היא $L/K$ אז קיים איבר $\alpha \in L$ כך ש- $L=K(\alpha )$ .

המשפט

המשפט קובע ש:

תהי

L/K

הרחבת שדות סופית. אז היא פשוטה אם ורק אם יש מספר סופי של שדות ביניים, כלומר מספר סופי של שדות

F

כך ש-

L\supset F\supset K

.

מקרה פרטי חשוב של המשפט הוא:

תהי

L/K

הרחבת שדות סופית וספרבילית. אז היא פשוטה.

הוכחה

נוכיח את המקרה הפרטי. תהי $L/K$ הרחבת שדות סופית וספרבילית.

אם $K$ סופי, גם $L$ סופי, ואז החבורה הכפלית של $L$ נוצרת על ידי איבר אחד, שגם יוצר את ההרחבה.

נניח $K$ אינסופי. נוכיח שלכל $a,b\in L$ מתקיים $K(a,b)=K(\alpha )$ עבור $\alpha \in L$ כלשהו, ומכך המשפט ינבע באינדוקציה (כי הרחבה סופית נוצרת על ידי מספר סופי של איברים).

נסמן את הפולינום המינימלי של $a$ ב- $f$ ושל $b$ ב- $g$ . הם מתפצלים בסגור האלגברי של $K$ . נסמן את שאר השורשים ב- $a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{m}$ (כולם שונים כי $L/K$ ספרבילית). נגדיר את הקבוצה: $S=\{{\frac {a_{i}-a}{b_{j}-b}}|1\leq i\leq n,1\leq j\leq m\}\cup \{0\}$ . היא סופית, לכן יש $c\in K\setminus S$ . נסמן $\alpha =a-cb$ , וכן $h=f(\alpha +cx)$ . אז $h(b)=f(\alpha +bc)=f(a)=0$ , וכן $h(b_{j})=f(\alpha +cb_{j})\neq 0$ כי מבניה $\alpha +cb_{j}\neq a_{i},a$ לכל $i,j$ . לכן $gcd(g,h)=x-b$ . אבל $g,h\in K(\alpha )[x]$ ולכן כך גם ה-gcd שלהם. לכן $b\in K(\alpha )$ ולכן גם $a\in K(\alpha )$ . מכאן $K(a,b)\subset K(\alpha )$ . כמובן גם $K(a,b)\supset K(\alpha )$ ובסך הכול $K(a,b)=K(\alpha )$ .