משפט האיבר הפרימיטיבי
בתורת השדות, משפט האיבר הפרימיטיבי מאפשר לקבוע שהרחבת שדות מסוימת היא פשוטה, כלומר שאם ההרחבה היא $ L/K $ אז קיים איבר $ \alpha \in L $ כך ש-$ L=K(\alpha ) $.
המשפט
המשפט קובע ש:
- תהי $ L/K $ הרחבת שדות סופית. אז היא פשוטה אם ורק אם יש מספר סופי של שדות ביניים, כלומר מספר סופי של שדות $ F $ כך ש-$ L\supset F\supset K $.
מקרה פרטי חשוב של המשפט הוא:
- תהי $ L/K $ הרחבת שדות סופית וספרבילית. אז היא פשוטה.
הוכחה
נוכיח את המקרה הפרטי. תהי $ L/K $ הרחבת שדות סופית וספרבילית.
אם $ K $ סופי, גם $ L $ סופי, ואז החבורה הכפלית של $ L $ נוצרת על ידי איבר אחד, שגם יוצר את ההרחבה.
נניח $ K $ אינסופי. נוכיח שלכל $ a,b\in L $ מתקיים $ K(a,b)=K(\alpha ) $ עבור $ \alpha \in L $ כלשהו, ומכך המשפט ינבע באינדוקציה (כי הרחבה סופית נוצרת על ידי מספר סופי של איברים).
נסמן את הפולינום המינימלי של $ a $ ב-$ f $ ושל $ b $ ב-$ g $. הם מתפצלים בסגור האלגברי של $ K $. נסמן את שאר השורשים ב-$ a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{m} $ (כולם שונים כי $ L/K $ ספרבילית). נגדיר את הקבוצה: $ S=\{{\frac {a_{i}-a}{b_{j}-b}}|1\leq i\leq n,1\leq j\leq m\}\cup \{0\} $. היא סופית, לכן יש $ c\in K\setminus S $. נסמן $ \alpha =a-cb $, וכן $ h=f(\alpha +cx) $. אז $ h(b)=f(\alpha +bc)=f(a)=0 $, וכן $ h(b_{j})=f(\alpha +cb_{j})\neq 0 $ כי מבניה $ \alpha +cb_{j}\neq a_{i},a $ לכל $ i,j $. לכן $ gcd(g,h)=x-b $. אבל $ g,h\in K(\alpha )[x] $ ולכן כך גם ה-gcd שלהם. לכן $ b\in K(\alpha ) $ ולכן גם $ a\in K(\alpha ) $. מכאן $ K(a,b)\subset K(\alpha ) $. כמובן גם $ K(a,b)\supset K(\alpha ) $ ובסך הכול $ K(a,b)=K(\alpha ) $.
ההוכחה לא רק מראה קיום אלא גם מראה דרך מפורשת לבנות את האיבר, ולמעשה מוכיחה שכמעט כל האיברים ב-$ L $ יוצרים את ההרחבה.
משפט האיבר הפרימיטיבי23551981