שדה פונקציות
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
בגאומטריה ובאלגברה, כל שדה נוצר סופית מעל שדה בסיס k נקרא שדה פונקציות. כל שדה פונקציות הוא השדה שאיבריו הם הפונקציות הרציונליות המוגדרות על יריעה אלגברית אי-פריקה מסויימת. עבור יריעה אפינית אי-פריקה, אפשר לתאר את השדה כשדה שברים של חוג הפונקציות הפולינומיות של היריעה, שהוא תחום שלמות, ואותו אפשר להציג באמצעות יוצרים ויחסים.
- שדה נקרא רציונלי מעל שדה הבסיס k אם הוא מהצורה $ k(x_{1},\dots ,x_{n}) $, כלומר שדה השברים של חוג פולינומים. יריעה אלגברית נקראת רציונלית אם שדה הפונקציות שלה הוא רציונלי. בעיית נתר עבור פעולה של חבורה סופית G כחבורת תמורות של היוצרים של שדה רציונלי E, שואלת האם שדה הַשֶּבֶת הוא רציונלי. בפרט, נסמן להלן ב-$ k(G) $ את שדה השבת של $ k(\{x_{g}\}_{g\in G}) $ תחת הפעולה הטבעית של G.
- שדה F הוא רציונלי ביציבות (stably rational) אם $ F(t_{1},\dots ,t_{m}) $ רציונלי לאיזשהו m. כל שדה רציונלי הוא רציונלי ביציבות, אבל ההפך אינו נכון.
- שדה F הוא נסג רציונלי (retract rational) אם L הוא שדה השברים של תחום שלמות A כך שקיים חוג $ R=k[x_{1},\dots ,x_{n}][1/f] $ עם שיכון של A ב-R והטלה של R על A, שהרכבתם היא הזהות על A. אם F רציונלי ביציבות, אז F הוא נסג רציונלי. ההפך אינו נכון מעל $ k=\mathbb {Q} $ (דוגמה נגדית: $ \mathbb {Q} (\mathbb {Z} _{47}) $). דוגמה נגדית מעל $ k=\mathbb {C} $ אינה ידועה.
- שדה F הוא יונירציונלי (unirational) אם F הוא תת-שדה של שדה רציונלי. כל נסג רציונלי הוא יונירציונלי. ההפך אינו נכון (דוגמאות נגדיות: $ \mathbb {Q} (\mathbb {Z} _{8}) $ ו-$ \mathbb {C} (P) $ עבור חבורה P מסוימת מסדר p^9).
לקריאה נוספת
- Ming-chang Kang, Retract rational fields, 2012.
קישורים חיצוניים
- שדה פונקציות, באתר MathWorld (באנגלית)
שדה פונקציות39032562Q4724000