שדה פונקציות

בגאומטריה ובאלגברה, כל שדה נוצר סופית מעל שדה בסיס k נקרא שדה פונקציות. כל שדה פונקציות הוא השדה שאיבריו הם הפונקציות הרציונליות המוגדרות על יריעה אלגברית אי-פריקה מסויימת. עבור יריעה אפינית אי-פריקה, אפשר לתאר את השדה כשדה שברים של חוג הפונקציות הפולינומיות של היריעה, שהוא תחום שלמות, ואותו אפשר להציג באמצעות יוצרים ויחסים.

שדה נקרא רציונלי מעל שדה הבסיס k אם הוא מהצורה $k(x_{1},\dots ,x_{n})$ , כלומר שדה השברים של חוג פולינומים. יריעה אלגברית נקראת רציונלית אם שדה הפונקציות שלה הוא רציונלי. בעיית נתר עבור פעולה של חבורה סופית G כחבורת תמורות של היוצרים של שדה רציונלי E, שואלת האם שדה הַשֶּבֶת הוא רציונלי. בפרט, נסמן להלן ב- $k(G)$ את שדה השבת של $k(\{x_{g}\}_{g\in G})$ תחת הפעולה הטבעית של G.
שדה F הוא רציונלי ביציבות (stably rational) אם $F(t_{1},\dots ,t_{m})$ רציונלי לאיזשהו m. כל שדה רציונלי הוא רציונלי ביציבות, אבל ההפך אינו נכון.
שדה F הוא נסג רציונלי (retract rational) אם L הוא שדה השברים של תחום שלמות A כך שקיים חוג $R=k[x_{1},\dots ,x_{n}][1/f]$ עם שיכון של A ב-R והטלה של R על A, שהרכבתם היא הזהות על A. אם F רציונלי ביציבות, אז F הוא נסג רציונלי. ההפך אינו נכון מעל $k=\mathbb {Q}$ (דוגמה נגדית: $\mathbb {Q} (\mathbb {Z} _{47})$ ). דוגמה נגדית מעל $k=\mathbb {C}$ אינה ידועה.
שדה F הוא יונירציונלי (unirational) אם F הוא תת-שדה של שדה רציונלי. כל נסג רציונלי הוא יונירציונלי. ההפך אינו נכון (דוגמאות נגדיות: $\mathbb {Q} (\mathbb {Z} _{8})$ ו- $\mathbb {C} (P)$ עבור חבורה P מסוימת מסדר p^9).