המשפט היסודי של האריתמטיקה

במתמטיקה, ובפרט בתורת המספרים, המשפט היסודי של האריתמטיקה הוא המשפט הקובע כי כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, עד כדי שינוי הסדר של המחלקים. בכלל זה מכפלה של גורם אחד (כאשר המספר הוא ראשוני בעצמו), ומכפלה ריקה של אפס גורמים (המספר 1).

למשל, את המספר $1176$ ניתן לכתוב כמכפלה הבאה של מספרים ראשוניים: $1176=2^{3}\cdot 3\cdot 7^{2}$ . אין שום דרך אחרת לכתוב את המספר הזה בתור מכפלת ראשוניים.

המשפט מראה כי למספרים הראשוניים חשיבות רבה - הם מהווים את "אבני הבניה" הבסיסיות של כל המספרים. למשפט שימושים רבים, החל במציאת המחלק המשותף המקסימלי של מספרים וכלה בהוכחת משפטי האי-שלמות של גדל.

הוכחת המשפט

המשפט היסודי של האריתמטיקה הוכח על ידי אוקלידס. להוכחה זו שני מרכיבים: בראשון מוכיחים כי לכל מספר טבעי קיים פירוק לגורמים ראשוניים, ובשני מוכיחים כי פירוק כזה הוא יחיד.

שלב א' – קיום

ההוכחה היא באינדוקציה שלמה. עבור $n$ טבעי, נניח שכל מספר קטן מ־$n$ ניתן לכתוב כמכפלת גורמים ראשוניים.

אם $n$ ראשוני, אזי הוא מוצג כמכפלת גורם ראשוני אחד, כדרוש.

נניח כי $n$ אינו ראשוני, אז אפשר לפרק אותו לגורמים קטנים יותר, $n=ab$ .

לפי הנחת האינדוקציה, אפשר לכתוב כל אחד מן הגורמים $a,b$ כמכפלת ראשוניים, ולכן ניתן לכתוב את $n$ כמכפלת הגורמים הראשוניים של $a$ ושל $b$ יחד.

שלב ב' – יחידות

היחידות מבוססת על הלמה של אוקלידס: אם מספר ראשוני $p$ מחלק מכפלה, אז הוא מוכרח לחלק אחד מן הגורמים.

נוכיח יחידות באינדוקציה שלמה על $n$ .

נניח כי לכל מספר שלם חיובי קטן מ־$n$ יש הצגה יחידה כמכפלת גורמים ראשוניים. יהיו $n=p_{1}p_{2}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}\cdots q_{s}$ שני פירוקים של $n$ למכפלת גורמים ראשוניים.

מכיוון ש־$p_{1}$ ראשוני, הוא מקיים את תכונת אוקלידס, ומחלק אחד מן הגורמים במכפלה האחרת, נאמר $q_{j}$ .

אבל $q_{j}$ עצמו ראשוני, ומכאן $p_{1}=q_{j}$ . כעת אפשר לצמצם את שני הגורמים הללו, ולקבל מספר קטן יותר מ־$n$ .

לפי הנחת האינדוקציה, למספר החדש יש פירוק יחיד ומכאן שהגורמים בשתי ההצגות שהתקבלו שווים זה לזה בהתאמה.

מכאן גם נובע שהפירוק של $n$ הוא יחיד, כפי שרצינו להוכיח. ■

הכללות

את המושגים "אבר אי־פריק" ו"אבר ראשוני" אפשר להגדיר בכל תחום שלמות: אבר לא־הפיך הוא אי־פריק אם לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של אברים לא־הפיכים, והוא ראשוני אם הוא אינו יכול לחלק מכפלה בלי לחלק את אחד מגורמיה. בחוג המספרים השלמים שני המושגים מתלכדים, ובדרך כלל מגדירים "מספר ראשוני" דווקא בהגדרה המתאימה לאבר אי־פריק של החוג. אבר ראשוני הוא תמיד אי־פריק, אבל ההפך אינו נכון.

המשפט היסודי של האריתמטיקה, או גרסאות אחרות שלו, מתקיים בתחומי שלמות מסוימים, אך לא בכולם. תכונת הקיום – כל אבר (לא הפיך) אפשר לכתוב כמכפלה של אברים אי־פריקים – מגדירה סוג של תחומי שלמות הנקראים "אטומיים", והיא מתקיימת בכל תחום שלמות נתרי. לעומת זאת, פירוק לגורמים ראשוניים עשוי שלא להיות קיים אפילו בתחום נתרי: אם קיים פירוק לגורמים ראשוניים, אז הוא יחיד, עד כדי סדר (בין כל הפירוקים לגורמים אי־פריקים).

יחידות הפירוק, כאמור, היא עניין סבוך יותר. תחום שבו מתקיים המשפט היסודי של האריתמטיקה – כל אבר (לא הפיך) מתפרק באופן יחיד לגורמים אי־פריקים – נקרא תחום פריקות יחידה. בדיוק כמו בחוג השלמים, בחוג כזה מתלכדים המושגים "אבר ראשוני" ו"אבר אי־פריק". הדוגמאות הבולטות לחוג כזה: כל תחום ראשי (ובפרט – כל חוג אוקלידי), וגם כל חוג פולינומים מעל שדה, בכל מספר של משתנים. החוג $F[\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ]$ (עם אינסוף משתנים) הוא דוגמה לתחום פריקות יחידה שאינו נותרי.

הכללה בכיוון אחר מתקבלת ממשפט ז'ורדן-הלדר לפיו סדרת הרכב של חבורה סופית היא יחידה עד כדי סדר ועד כדי איזומורפיזם של חבורות. במקרה של חבורות מהצורה $\mathbb {Z} _{n}$ – זהו ניסוח שקול למשפט היחידות של הפירוק לראשוניים. משפטים דומים לגבי קיום ויחידות סדרת ההרכב מתקיימים גם במבנים אלגבריים נוספים.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0