אי-שוויון הממוצעים

במתמטיקה, אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים ממשיים חיוביים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון הוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני ואי השוויון בין הממוצע הריבועי לממוצע ההנדסי; יחדיו, טוענים שני האי-שוויונות שלכל קבוצה $\ a_{1},\dots ,a_{n}$ של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים

${\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\dots +{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}\ \leq {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$,

כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני והממוצע החשבוני קטן או שווה לשורש ממוצע הריבועים. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים $\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ שווים זה לזה.

רקע

אם $\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ מספרים חיוביים, הרי

• הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב- n: $\ A_{n}={\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$;
• הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-n-י של מכפלתם: $\ G_{n}=(a_{1}\cdots a_{n})^{1/n}$;
• הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: $\ H_{n}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\dots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$.

שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה $\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$. לפי אי-שוויון הממוצעים, $\ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}$. במקרה $\ n=2$ טענה זו קובעת כי לכל a ו-b חיוביים, $\ {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}$, ושוויון מתקיים אם ורק אם a שווה ל-b.

הוכחות

המקרה n=2

הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n=2. באדום, הממוצע החשבוני של a ו-b, בתכלת, הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם.

נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

$0\leq (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab=(a+b)^{2}-4ab$

כלומר:

$4ab\leq (a+b)^{2}$

ולכן לאחר חלוקה ב-4 ולקיחת שורש:

$G_{2}={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}=A_{2}$

קל לראות ש-$H_{2}A_{2}=G_{2}^{2}$ ולכן מכיוון ש-$G_{2}\leq A_{2}$ בהכרח $H_{2}\leq G_{2}$.

הוכחתו של קושי

קושי הוכיח את האי-שוויון $\ G_{n}\leq A_{n}$ בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה": ראשית, הוא הראה שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בנות n מספרים, אז הוא מתקיים לסדרות בנות 2n מספרים - ולכן, באינדוקציה (רגילה), הוא מתקיים לסדרות בנות $\ 2^{m}$ מספרים, לכל m. בנוסף לזה, הראה קושי שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים, אז הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מאיזו-שהיא חזקה של 2, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח שאי-השוויון $\ (a_{1}\cdots a_{n})^{1/n}\leq {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$ מתקיים לכל $\ a_{1},\dots ,a_{n}$ חיוביים. אז

$\ (a_{1}\cdots a_{2n})^{1/2n}={\sqrt {(a_{1}\cdots a_{n})^{1/n}\cdot (a_{n+1}\cdots a_{2n})^{1/n}}}\leq$

$\leq {\sqrt {{\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}\cdot {\frac {a_{n+1}+\dots +a_{2n}}{n}}}}\leq$

$\leq {\frac {{\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}+{\frac {a_{n+1}+\dots +a_{2n}}{n}}}{2}}={\frac {a_{1}+\dots +a_{n}+a_{n+1}+\dots +a_{2n}}{2n}}$

כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל n, והשני מן המקרה $\ n=2$.

הצעד השני: נניח שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל n; אם נתונים $\ a_{1},\dots ,a_{m}$ כאשר $\ m<n$, נסמן $\ \alpha ={\frac {a_{1}+\dots +a_{m}}{m}}$ ונקבל $\ (a_{1}\cdots a_{m}\cdot \alpha ^{n-m})^{1/n}\leq {\frac {a_{1}+\dots +a_{m}+(n-m)\alpha }{n}}=\alpha$, ולכן $\ (a_{1}\cdots a_{m})^{1/m}\leq \alpha$.

את אי-השוויון $\ H_{n}\leq G_{n}$ אפשר להוכיח בדרך דומה.

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

$f\left({\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\dots +f(x_{n})}{n}}$

לכל פונקציה f קמורה. אם משתמשים בפונקציה $\exp$, ומציבים $\ x_{i}=\ln a_{i}$, מתקבל

${\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \dots \cdot a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$.

הכללות

אחת ההכללות החשובות לאי-השוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב $\ a_{k}$ מספר פעמים, למשל $\ p_{k}$. אם $\ a_{1},\dots ,a_{n}$ חיוביים כמקודם ו- $\ p_{1},\dots ,p_{n}$ שלמים חיוביים וסכומם $\ P$, אז האי-שוויון הופך להיות

$\ {\frac {P}{{\frac {p_{1}}{a_{1}}}+\dots +{\frac {p_{n}}{a_{n}}}}}\leq (a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}})^{1/P}\leq {\frac {p_{1}a_{1}+\dots +p_{n}a_{n}}{P}}$.

באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים $\ p_{k}$ במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם $\ P=1$. כאשר כל המקדמים שווים ל-${1 \over n}$, מתקבל אי-שוויון הממוצעים.

בנוסף, יש הכללות לאי שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות:$(\sum {\frac {x_{i}^{\alpha }}{n}})^{\frac {1}{\alpha }}$ זו פונקציה עולה ביחס ל - $\alpha$, כאשר $x_{i}$ אי שליליים. אי שוויון הממוצעים מתקבל כשאומרים שכאשר $\alpha =1$ הפונקציה גדולה יותר מאשר כש - $\alpha \to +0$.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35405995אי-שוויון הממוצעים