פאון משוכלל למחצה

בגאומטריית המרחב, פאון משוכלל למחצה הוא פאון קמור שכל הפאות שלו הן משוכללות, ואשר הקודקודים שלו חופפים זה לזה (במובן הבא: חבורת הסימטריות פועלת באופן טרנזיטיבי על הקודקודים).

ישנן שתי משפחות אינסופיות של פאונים משוכללים למחצה, המנסרות הקמורות והאנטי-מנסרות הקמורות, עוד שלושה-עשר פאונים ארכימדיים (שלהם לפחות שתי פאות לא חופפות), וחמשת הפאונים האפלטוניים (שבהם כל הפאות חופפות).

במונח "פאון משוכלל למחצה" עשה לראשונה שימוש E. L. Gosset (ב-1912), כדי לתאר מה שקרוי היום פאון אחיד. ה.ס.מ. קוקסטר פסק שההגדרה הזו מלאכותית ורחבה מדי. בהגדרות מאוחרות יותר נכללו פאונים נוספים, לרבות פאונים כוכביים והפאונים הדואליים לאלו המנויים לעיל. בין הספרים העוסקים בנושא אין הסכמה חד-משמעית באשר לתכולת הקבוצה של הפאונים המשוכללים למחצה: מחברים אחדים כוללים בה את פאוני קטלן, בעוד שאחרים משמיטים ממנה את הפאונים האפלטוניים; לעיתים נשמטת גם ההנחה על קמירות.

מיון הפאונים המשוכללים למחצה

כל אחד מן הפאונים המשוכללים למחצה ניתן לתיאור מלא על ידי תבנית הקודקודים שלו, הכוללת את טיפוסי המצולעים הנפגשים בקודקוד, לפי סדרם. כך למשל התבנית 3.5.3.5 מתארת את האיקוסידודקהדרון, שבו נפגשים בכל קודקוד משולש ומחומש, משולש ומחומש; והתבנית 3.3.3.5 מתארת את האנטי-מנסרה המחומשת, שבה נפגשים בכל קודקוד שלושה משולשים ומחומש משוכלל אחד.

הכלי הבסיסי למיון פאונים קמורים הוא השוואה בין זוויות מישוריות וזויות מרחביות. הזווית של מצולע משוכלל בן n צלעות היא $\ (1-{\frac {2}{n}})\pi$ (רדיאנים). אם בקודקוד נפגשים פאונים שלהם $\ n_{1},\dots ,n_{k}$ צלעות האחד, אז סכום הזויות שלהם, $\ \sum (1-{\frac {2}{n_{i}}})\pi$, חייב להיות קטן מן הזווית הכוללת סביב נקודה, השווה כמובן ל- $\ 2\pi$. במלים אחרות, $\ \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}}}>{\frac {k-2}{2}}$. הזווית הקטנה ביותר במצולע משוכלל היא זו של משולשים (שכל זווית שלהם גודלה $\ {\frac {\pi }{3}}$), ולכן $\ {\frac {k\pi }{3}}<2\pi$; כלומר, מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד הוא $\ k\leq 5$. מצד שני בקודקוד של פאון נפגשות לפחות שלוש פאות, ולכן $\ 3\leq k\leq 5$.

יתרה מזו: מנימוקים הנוגעים למדידת זוויות על פני כדור (ראו גם משפט גאוס-בונה) נובע כי כאשר מסכמים את ההפרשים $\ 2\pi -\sum (1-{\frac {2}{n_{i}}})\pi$ על פני כל הזויות של הפאון, מתקבלת הזווית המרחבית $\ 4\pi$ (השווה לשטח פני כדור בעל רדיוס 1). מכאן שמספר הקודקודים בפאון משוכלל למחצה, N, שווה ל-

$\ (*)\qquad \qquad N={\frac {4}{2-\sum (1-{\frac {2}{n_{i}}})}}$.

מספר זה חייב, כמובן, להיות שלם.

הפתרונות למשוואה (*) כוללים שלוש משפחות אינסופיות, ועוד 101 פתרונות מבודדים (בספירה מניחים ש- $\ 3\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \dots \leq n_{k}$). פתרונות אלה מחולקים באופן הבא:

• כאשר k=5 יש שלושה פתרונות: $\ (3,3,3,3,n_{5})$, כאשר $\ n_{5}=3,4,5$;
• כאשר k=4 יש משפחה אינסופית של פתרונות, $\ (3,3,3,n_{4})$, ועוד 11 פתרונות;
• כאשר k=3 יש שתי משפחות אינסופיות של פתרונות, $\ (3,6,n_{3})$ ו- $\ (4,4,n_{3})$, ועוד 87 פתרונות.

רבים מפתרונות אלה אינם יכולים לייצג פאון תלת-ממדי מסיבות גאומטריות שונות. למשל: אם בכל קודקוד נפגשות k=3 פאות, אז סביב כל פאה צריכות להיות מסודרות הפאות משני הסוגים האחרים, לסירוגין. בפרט, אם לאחת הפאות מספר אי-זוגי של צלעות, אז שתי הפאות האחרות חייבות להיות שוות. עקרון פשוט זה פוסל את רוב הפתרונות המספריים, ומשאיר (כאשר k=3) את המשפחה $\ (4,4,n_{3})$ ועוד תשעה פתרונות. נימוקים אחרים, מורכבים יותר, פוסלים חלק מהפתרונות במקרה k=4, ומשאירים את המשפחה האינסופית ועוד 4 פתרונות.

סיכום

הפאונים המשוכללים למחצה כוללים:

• חמישה הפאונים המשוכללים: העשרימון שתבנית הקודקודים שלו (3,3,3,3,3) (כלומר: חמישה משולשים נפגשים בכל קודקוד); התמניון, בעל התבנית (3,3,3,3) (ארבעה משולשים בכל קודקוד); הארבעון (3,3,3); הקובייה (4,4,4); והתריסרון (5,5,5).
• משפחת המנסרות המשוכללות, בעלות החתימה $\ (4,4,n)$; משפחה זו כוללת את הקוביה (n=4).
• משפחת האנטי-מנסרות המשוכללות, בעלות החתימה $\ (3,3,3,n)$; משפחה זו כוללת את התמניון (n=3).
• שלושה-עשר הפאונים הארכימדיים (ראו שם לפירוט):

קובייה מסותתת (3,3,3,3,4); דודקהדרון מסותת (3,3,3,3,5); קובוקטהדרון (3,3,4,4); איקוסידודקהדרון (3,3,5,5); רומביקובוקטהדרון (3,4,4,4); רומביאיקוסידודקהדרון (3,4,4,5); טטרהדרון קטום (3,6,6); קובייה קטומה (3,8,8); דודקהדרון קטום (3,10,10); אוקטהדרון קטום (4,6,6); קובוקטהדרון קטום (4,6,8); איקוסידודקהדרון קטום (4,6,10); איקוסהדרון קטום (5,6,6).

ראו גם

• פאון משוכלל
• שמות פאונים

קישורים חיצוניים

• Encyclopaedia of Mathematics: Semi-regular polyhedra, uniform polyhedra, Archimedean solids