פעולה טרנזיטיבית
בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה $ G $ פועלת על הקבוצה $ X $. אם לכל שתי נקודות $ x,y\in X $ קיים איבר $ g\in G $ המעביר את $ x $ ל-$ y $, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.
במקרים רבים לקבוצה $ X $ יש מבנה נוסף (כגון אם $ X $ הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה $ G $ הפועלת על $ X $ באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של $ X $ דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש-$ X $ מרחב הומוגני (אם $ X $ הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי).
פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה $ G_{x}=\{g\in G:g(x)=x\} $. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה $ X $ איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של $ G $) למרחב הקוסטים $ G/G_{x} $. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.
טרנזיטיביות מסדר גבוה
כאשר החבורה $ G $ פועלת על קבוצה $ X $, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של $ X $ עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של $ X $. הפעולה מוגדרת לפי $ g(x_{1},\dots ,x_{k})=(g(x_{1}),\dots ,g(x_{k})) $, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה $ X^{k} $ את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה $ X^{[k]} $ של הווקטורים באורך $ k $ שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של $ G $, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.
אם $ G $ פועלת באופן טרנזיטיבי על $ X^{[k]} $, אז הפעולה שלה על $ X $ היא פעולה $ k $-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: $ G $ פועלת $ k $-טרנזיטיבית על $ X $, אם לכל $ x_{1},\dots ,x_{k} $ שונים זה מזה, ולכל $ y_{1},\dots ,y_{k} $ שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר $ g(x_{i})=y_{i} $. אם יש בחבורה איבר יחיד $ g $ כנ"ל, אז הפעולה היא $ k $-טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).
לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית $ S_{n} $ על הקבוצה $ \{1,\dots ,n\} $ היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות $ A_{n} $ על אותה קבוצה היא ($ n-2 $)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר $ m<n-1 $, הפעולה של $ S_{n} $ היא $ m $-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.
פעולה על קבוצה אינסופית
פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא $ k $-טרנזיטיבית לכל $ k $, ואוליגומורפית אם לכל $ k $ יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל $ k $.
מיון של פעולות טרנזיטיביות
טרנזיטיביות מדרגה ראשונית
יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות $ \ AGL_{1}(p) $ המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת $ \ P\Gamma {}L_{n}(p) $ המכילות את $ \ PSL_{n}(p) $ במקרים שבהם הסדר $ \ (p^{n}-1)/(p-1) $ של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: $ \ PSL_{2}(11) $ בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו $ \ M_{11} $ ו-$ \ M_{23} $.
טרנזיטיביות מסדר גבוה
מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן $ S_{4},S_{5},A_{6} $ וחבורת מתיו $ M_{11} $; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן $ S_{5},S_{6},A_{7} $ וחבורת מתיו $ M_{12} $, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן $ k $-טרנזיטיבי חד, עבור $ k\geq 6 $, הן $ S_{k},S_{k+1},A_{k} $.
ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן $ \operatorname {PGL} _{2}(q) $ (לכל חזקת-ראשוני $ q $), ו-$ M(q) $ (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); $ M(q) $ היא תת-חבורה של $ \operatorname {PGL} _{2}(q)\cdot \langle \sigma \rangle $ המכילה את $ \operatorname {PSL} _{2}(q) $.
כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות $ S_{n} $ ו-$ A_{n} $, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: $ M_{11} $ ו-$ M_{23} $ הן 4-טרנזיטיביות, ו-$ M_{12} $ ו-$ M_{24} $ הן 5-טרנזיטיביות) [1].
ראו גם
הערות שוליים
- ↑ Permutation Groups, Peter J. Cameron, London Math. Soc., Cambridge Univ. Press; משפט 4.11
פעולה טרנזיטיבית31689452Q18192609