פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה $G$ פועלת על הקבוצה $X$. אם לכל שתי נקודות $x,y\in X$ קיים איבר $g\in G$ המעביר את $x$ ל-$y$, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה $X$ יש מבנה נוסף (כגון אם $X$ הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה $G$ הפועלת על $X$ באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של $X$ דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש-$X$ מרחב הומוגני (אם $X$ הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי).

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה $G_{x}=\{g\in G:g(x)=x\}$. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה $X$ איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של $G$) למרחב הקוסטים $G/G_{x}$. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

טרנזיטיביות מסדר גבוה

כאשר החבורה $G$ פועלת על קבוצה $X$, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של $X$ עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של $X$. הפעולה מוגדרת לפי $g(x_{1},\dots ,x_{k})=(g(x_{1}),\dots ,g(x_{k}))$, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה $X^{k}$ את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה $X^{[k]}$ של הווקטורים באורך $k$ שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של $G$, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם $G$ פועלת באופן טרנזיטיבי על $X^{[k]}$, אז הפעולה שלה על $X$ היא פעולה $k$-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: $G$ פועלת $k$-טרנזיטיבית על $X$, אם לכל $x_{1},\dots ,x_{k}$ שונים זה מזה, ולכל $y_{1},\dots ,y_{k}$ שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר $g(x_{i})=y_{i}$. אם יש בחבורה איבר יחיד $g$ כנ"ל, אז הפעולה היא $k$-טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית $S_{n}$ על הקבוצה $\{1,\dots ,n\}$ היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות $A_{n}$ על אותה קבוצה היא ($n-2$)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר $m<n-1$, הפעולה של $S_{n}$ היא $m$-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

פעולה על קבוצה אינסופית

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא $k$-טרנזיטיבית לכל $k$, ואוליגומורפית אם לכל $k$ יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל $k$.

מיון של פעולות טרנזיטיביות

טרנזיטיביות מדרגה ראשונית

יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות $\ AGL_{1}(p)$ המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת $\ P\Gamma {}L_{n}(p)$ המכילות את $\ PSL_{n}(p)$ במקרים שבהם הסדר $\ (p^{n}-1)/(p-1)$ של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: $\ PSL_{2}(11)$ בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו $\ M_{11}$ ו-$\ M_{23}$.

טרנזיטיביות מסדר גבוה

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן $S_{4},S_{5},A_{6}$ וחבורת מתיו $M_{11}$; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן $S_{5},S_{6},A_{7}$ וחבורת מתיו $M_{12}$, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן $k$-טרנזיטיבי חד, עבור $k\geq 6$, הן $S_{k},S_{k+1},A_{k}$.

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן $\operatorname {PGL} _{2}(q)$ (לכל חזקת-ראשוני $q$), ו-$M(q)$ (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); $M(q)$ היא תת-חבורה של $\operatorname {PGL} _{2}(q)\cdot \langle \sigma \rangle$ המכילה את $\operatorname {PSL} _{2}(q)$.

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות $S_{n}$ ו-$A_{n}$, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: $M_{11}$ ו-$M_{23}$ הן 4-טרנזיטיביות, ו-$M_{12}$ ו-$M_{24}$ הן 5-טרנזיטיביות) .

ראו גם

• חבורת תמורות
• פעולה פרימיטיבית

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פעולה טרנזיטיבית31689452Q18192609