משפט הגבול המרכזי

משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים. המשפט קובע שבתנאים מסוימים, התפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות מתקרבת להתפלגות נורמלית לאחר תקנון מסוים. מאחר שרבים מהערכים הנמדדים בטבע מורכבים למעשה מסכום מספר רב של אירועים אקראיים, המשפט מסביר את הדומיננטיות של ההתפלגות הנורמלית. את המשפט הוכיח אלכסנדר ליאפונוב.

הגרסה החלשה

תהי $\ X_{1},X_{2},\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת $\ \mu$ ושונות $\ \sigma ^{2}$. נסמן ב- $\ {\bar {X}}_{n}=(X_{1}+\dots +X_{n})/n$ את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה $\ {\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}$ הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים $\ {\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$ מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: $\ \lim _{n\to \infty }P\left({\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}<z\right)=\Phi (z)$, כאשר $\ \Phi (z)=\int _{-\infty }^{z}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt$.

הגרסה החזקה

תהי $\ X_{1},X_{2},\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:

1. $\ \forall k:\ E(X_{k})=0$ (אין כאן פגיעה בכלליות, כי מכל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
2. $\ \forall k:\ E(X_{k}^{2})=\sigma _{k}^{2}<\infty$ (שונות סופית).
3. $\ \forall k:\ E(|X_{k}|^{3})<\infty$

נסמן $\ S_{n}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{\sigma _{k}^{2}}}}$. אם $\ \ {\mbox{lim}}{{\frac {1}{S_{n}^{3}}}\sum _{k=1}^{n}{E(|X_{k}|^{3})}}=0\ \$, אז סדרת המשתנים המקריים $\ {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{S_{n}}}$ מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

דוגמה

נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם $\ X\sim Bin(n,p)$ - המשתנה $\ X$ מתפלג בינומית, אז כאשר $\ n$ גדול מתקיים $\ X\approx N(np,npq)$, כלומר $\ X$ מתפלג בקירוב כמו משתנה נורמלי עם תוחלת $\ np$ ושונות $\ npq$, כאשר $\ p+q=1$.

ניתן לראות משתנה בינומי $\ X$ כסכום סדרת משתנים מקריים $\ Y$ שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות $\ p$ ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא $\ \mu =p$ והשונות שלו היא $\ pq$. לכן, כאשר $\ n$ גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:

$\ F_{X}(x)=P\left(X\leq x\right)=P\left({\frac {X-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}\leq {\frac {x-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}\right)\approx \Phi \left({\frac {x-np}{\sqrt {npq}}}\right)=F_{Z}(x)$

כאשר $\ Z\sim N(np,npq)$.

יישומים

בתורת ההסתברות

בספרות יש מספר דוגמאות מעניינות ושימושיות ויישומים הקשורים למשפט הגבול המרכזי. מקור אחד מציין את הדוגמאות הבאות:

• התפלגות המרחק הכולל שעוברים בהילוך מקרי (מוטה או חסר הטיה) ייטה להתפלג נורמלי.

• הטלת מטבע מספר רב של פעמים יניב את ההתפלגות הנורמלית עבור המספר הכולל של "עץ" (או "פלי" באופן שקול).

מנקודת מבט אחרת, משפט הגבול המרכזי מסביר את ההופעה התדירה של "עקומת הפעמון" בהערכות צפיפות המופעלות על מידע מהעולם האמיתי. במקרים כמו רעש אלקטרוני, ציוני מבחן וכו', נוכל בדרך כלל להתייחס לתצפית בודדת כממוצע ממושקל של מספר רב של גורמים קטנים. אם נשתמש בהכללות של משפט הגבול המרכזי נוכל לראות שזה לרוב יניב (אך לא תמיד) התפלגות סופית שהיא בערך נורמלית.

באופן כללי, ככל שתצפית היא יותר כמו סכום של מ"מ בלתי תלויים עם השפעה זהה על התוצאה, היא מתאפיינת ביותר נורמליות. זה מצדיק את השימוש הנפוץ בהתפלגות זו כדי להשלים את ההשפעה של משתנים מקריים שלא נצפו במודלים כמו במודל הליניארי.

מחוץ לתורת ההסתברות

באופן מפתיע למדי, למשפטי גבול בתורת ההסתברות יש יישומים גם מחוץ לתורת ההסתברות.

למשל, בעזרת משפט הגבול המרכזי ניתן לחשב את הגבול $L=\lim _{n\to \infty }\int _{-1}^{1}\dots \int _{-1}^{1}\cos \left({\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{\sqrt {n}}}\right)dx_{1}\dots dx_{n}$.

כדי לעשות זאת, לוקחים משתנים מקריים בלתי תלויים $X_{1},\dots ,X_{n}$ המתפלגים אחיד בקטע $[-1,1]$ (עם מידת לבג). כל משתנה כזה הוא בעל תוחלת אפס ושונות $\sigma ^{2}={\frac {1}{3}}$. משתנים אלו "מייצגים" את המשתנים $x_{1},\dots ,x_{n}$ במרחב האוקלידי ולכן הם בלתי תלויים. אם כן האינטגרל שווה לתוחלת של המ"מ $\cos \left({\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{\sqrt {n}}}\right)$.

לפי משפט הגבול המרכזי, מתקיים ${\mathcal {Z}}={\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{\sqrt {n}}}\longrightarrow Z\sim N\left(0,\sigma ^{2}\right)$. כעת, ניתן להסיק מהמשפט גם התכנסות חלשה (ולמעשה התנאי שקול להתכנסות בהתפלגות) - כלומר, לכל פונקציה רציפה וחסומה $f$ מתקיים $E[f({\mathcal {Z}})]\to E[f(Z)]$; במקרה שלנו, $\cos$ היא רציפה וחסומה, ולכן הגבול שווה ל-

$L=E\left[\cos \left(Z\right)\right]=E\left[{\frac {e^{iZ}+e^{-iZ}}{2}}\right]={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{Z}(1)+\varphi _{Z}(-1)\right)=e^{-{\frac {1}{6}}}$

($\varphi _{Z}(t)$ היא הפונקציה האופיינית של $Z$).

ראו גם

• התפלגות נורמלית
• חוק המספרים הגדולים
• תיבת גלטון
• משפט ברי-אסן

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט הגבול המרכזי בוויקישיתוף

• יוסי לוי, למי צלצל הפעמון?, באתר "נסיכת המדעים"

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0