משפט ברי-אסן
בתורת ההסתברות, משפט ברי-אסן (Barry-Esseen) נותן הערכה כמותית לקצב ההתכנסות במשפט הגבול המרכזי. המשפט חוסם, בתנאים מסוימים, את המרחק, בנורמת קולמוגורוב-סמירנוף, בין התפלגות ממוצע הדגימות של משתנה מקרי להתפלגות הנורמלית.
המשפט הוכח תחילה על ידי אנדרו ברי (1941) ולאחר מכן על ידי קרל-גוסטב אסן (1942).
ניסוח המשפט
קיים קבוע חיובי C כך שאם $ X_{1},\ldots X_{n} $ הם משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות שמקיימים $ E(X_{1})=0,E(X_{1}^{2})=\sigma ^{2}>0,E(|X_{1}|^{3})=\rho <\infty $ אז אם
- $ Y_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over n} $
ונסמן את פונקציית הצטברות של $ {Y_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }} $ ב $ F_{n} $
ואת פונקציית ההצטברות של ההתפלגות הנורמאלית הסטנדרטית ב $ \Phi $
אז לכל $ x $ ו $ n $
- $ \left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}} $
בנוסף, C חסום על ידי:
$ 0.4748>C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973 $
הערה: למשפט קיימת גם גרסה עבור משתנים מקריים שאינם שווי התפלגות.
לקריאה נוספת
- Berry, Andrew C. (1941). "The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates". Transactions of the American Mathematical Society. 49 (1): 122–136. doi:10.1090/S0002-9947-1941-0003498-3. JSTOR 1990053.
- Esseen, Carl-Gustav (1942). "On the Liapunoff limit of error in the theory of probability". Arkiv för matematik, astronomi och fysik. A28: 1–19. ISSN 0365-4133.
- Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170.
