מידת לבג

מידת לבג היא פונקציית מידה על שדה המספרים הממשיים שמהווה הכללה של מושג האורך (אפשר להכליל מידת לבג של נפח על המרחב $\mathbb {R} ^{n}$). באמצעות מידת לבג אפשר להרחיב מושגים מהאנליזה הממשית, הבולט שבהם הוא האינטגרל.

הערה: כדי להבין מאמר זה יש להכיר את מושג המידה, עליו אפשר לקרוא במאמר מידה (מתמטיקה).

תכונות מידת לבג וניסוח פורמלי של מהותה

מידת לבג (Lebesgue) היא פונקציית מידה המוגדרת על אוסף הקבוצות המדידות בישר הממשי ומחזירה לכל קטע את האורך שלו. מידת לבג מסומנת באות m.

תכונות של מידת לבג:

• מידת לבג היא אי-שלילית ומחזירה ערכים בין 0 לאינסוף (כולל אינסוף).
• מידת לבג של קטע שווה לאורך הקטע.
• מידת לבג היא סיגמא-סופית.
• מידת לבג היא מידה שלמה.
• מידת לבג של קבוצה בת מנייה היא אפס.
• משפט ויטלי: לכל קבוצה שמידתה שונה מאפס, קיימת תת-קבוצה שאיננה מדידה.
• מידת לבג אינווריאנטית תחת הזזה: אם A מדידה, אזי A+c מדידה ו $\ m(A)=m(A+c)$.

הבנייה של מידת לבג

יהי $\ [a,b)\subset \mathbb {R}$ קטע ממשי. אזי האורך שלו, הוא $\ l[a,b)=|[a,b)|=b-a$ . הגדרת האורך טובה לכל קטע – סגור או פתוח באחד או שניים מקצותיו. קל לראות שפונקציית האורך המוגדרת על קטעים היא אדיטיבית (סופית) על קבוצת כל הקטעים המוכלים בישר הממשי.

כדי להרחיב אותה לפונקציה סיגמא-אדיטיבית, נגדיר מידה חיצונית (Outer Measure) על הישר הממשי:

$\ m^{*}(A\subset \mathbb {R} )=\inf \left\{\sum _{n}{|I_{n}|}\ \ :\ \ A\subset \bigcup _{n}{I_{n}}\ \ {\mbox{and}}\ I_{n}{\mbox{ are intervals}}\right\}$

כלומר, פונקציה זו מחזירה את האינפימום על קבוצת סכומי הארכים של קטעים המכסים את A.

קל לראות שהמידה החיצונית היא סיגמא-חצי־אדיטיבית (כלומר, $\ m^{*}(\bigcup _{n}{A_{n}})\leq \sum _{n}m^{*}(A_{n})$ ).

כדי להפוך אותה למידה עלינו לצמצמה על סיגמא-אלגברה שעליה היא תהיה סיגמא-אדיטיבית. סיגמא-אלגברה זו תיקרא "אוסף הקבוצות המדידות".

קבוצה A נקראת מדידה אם לכל קבוצה B מתקיים $\ m^{*}(B)=m^{*}(A\cap B)+m^{*}(B-A)$.

אפשר להראות שעבור הישר הממשי, אוסף כל הקבוצות המדידות הוא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי כל קבוצות בורל והקבוצות בעלות מידה אפס. על הקבוצות המדידות, $\ m(A)=m^{*}(A)$ וזו מידת לבג.

אוסף הקבוצות המדידות מכיל מגוון רב של קבוצות שימושיות:

• כל קטע (פתוח, סגור וכו') הוא קבוצה מדידה.
• כל קבוצה פתוחה היא קבוצה מדידה.
• כל קבוצה סגורה היא מדידה.
• כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות ( $\ F_{\sigma }$) הוא קבוצה מדידה.
• כל חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות ( $\ G_{\delta }$) הוא קבוצה מדידה.
• כל איחוד או חיתוך בן מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצה מדידה.
• כל קבוצה בעלת מידה אפס היא קבוצה מדידה.
• כל קבוצה בת מנייה היא קבוצה מדידה ומידתה היא אפס.

רוב תתי-הקבוצות של הישר אינן מדידות, אך בנייה מפורשת של קבוצה לא מדידה אינה פשוטה. ניתן לבנות קבוצה לא מדידה למשל על ידי הגדרת יחס שקילות על נקודות הקטע $\ [0,1)$: $x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q}$. קל לראות שהיחס $\sim$ הוא יחס שקילות שמפצל את הקטע למחלקות שקילות בנות אלף 0 אברים כל אחת. נבנה קבוצה $\ A$ שמורכבת מנציג אחד עבור כל מחלקת שקילות (לשם כך נדרשת אקסיומת הבחירה). כל הזזה במספר רציונלי (כאשר נתייחס לקטע כמעגל היחידה) מספקת קבוצה נוספת של נציגים שזרה לכל האחרות, ואיחוד כל ההזזות הוא בחזרה קטע היחידה. אם הקבוצה $\ A$ הייתה מדידה אז גם הזזותיה היו כן, והמידה שלהן הייתה זהה לשלה. לכן, בין אם מידתה הייתה אפס ובין אם היא הייתה חיובית, הדבר עומד בסתירה לסיגמא-אדיטיביות של המידה.

הכללה לממד כלשהו

את מידת לבג אפשר להכליל בקלות למרחב $\ \mathbb {R} ^{n}$ ובכך להכליל את מושג ה"היפר-נפח": אורך (n=1), שטח (n=2), הנפח (n=3) וכו. תהליך הבניה זהה לחלוטין, רק שבמקום בקטעים משתמשים בהיפר-תיבות (מכפלה קרטזית של קטעים עם קצוות תחתונים סגורים וקצוות עליונים פתוחים) $\ I_{n}=\prod _{k=1}^{n}{[a_{k},b_{k})}$, ומגדירים נפח על חוג התיבות באמצעות $\ v(I_{n})=\prod _{k=1}^{n}{|b_{k}-a_{k}|}$. מכאן, מגדירים מידה חיצונית ומצמצמים אותה על אוסף כל הקבוצות המדידות הנוצרת על ידי חוג התיבות. במקרה זה, קבוצה A נקראת מדידה רק אם לכל $\varepsilon >0$ קיימת קבוצה B בחוג התיבות כך ש $\ m(A\Delta B)<\varepsilon$ כאשר $\Delta$ מסמל הפרש סימטרי של קבוצות.

ישנה גם הכללה לממד לא שלם בהכרח על ידי מידת האוסדורף.

יישומים

• מידת לבג מאפשרת לחשב מידות של קבוצות מוזרות. למשל: המידה של קבוצת קנטור היא 0 למרות שהיא איננה בת-מנייה (למעשה, עוצמתה היא $\aleph$).
• באמצעות מידת לבג אפשר להגדיר את אינטגרל לבג.
• נאמר שתכונה מתקיימת כמעט בכל מקום אם היא מתקיימת בקבוצה שהמשלים היא קבוצה ממידה אפס.

ראו גם

• אינטגרל לבג
• תורת המידה
• קבוצת בורל
• טופולוגיה