חוק אמפר

חוק אמפר הוא חוק טבע מתחום האלקטרומגנטיות, אחת ממשוואות מקסוול, שנתגלה על ידי אנדרה מרי אמפר (André-Marie Ampère), פיזיקאי צרפתי בתחילת המאה ה-19, ואשר תוקן כעבור כמה עשרות שנים על ידי הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול. על פי חוק אמפר המקורות של השדות המגנטיים הם זרמים חשמליים (מבחינה זו הוא אנלוגי לחוק גאוס, הקושר את עוצמתו של שדה חשמלי לעוצמת המטען שיוצר אותו). התיקון שמקסוול הכניס הוא הכללה לפיה מקור של שדה מגנטי הוא שדה חשמלי המשתנה בזמן. המקרה של זרם חשמלי כמקור לשדה מגנטי, בנוסח המוקדם של אמפר, הוא רק מקרה פרטי של הכללה זו.

חוק אמפר המקורי

זרם חשמלי המייצר שדה מגנטי

חוק אמפר המקורי קובע כי קיים יחס ישר בין הזרם החשמלי $\ I$ העובר דרך עקומה סגורה לבין השדה המגנטי המשיק לעקומה הנוצר כתוצאה מהזרם הזה: $(B_{\|})$: $\sum B_{\|}\Delta l=\mu _{0}I$.

בהצגה אינטגרלית, ניתן לנסח את החוק כך: האינטגרל המסלולי של השדה המגנטי לאורך מסלול סגור שווה לסך השטף של צפיפות הזרם דרך כל משטח הנשען על מסלול זה: $\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\mu _{0}I=\mu _{0}\iint {\vec {J}}\cdot {\vec {dA}}$, כאשר $\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}N/A^{2}$ הוא קבוע הפרמאביליות של הריק.

על ידי שימוש במשפט סטוקס מקבלים את הרישום הדיפרנציאלי: $\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}$

ביחידות cgs אפשר לרשום את חוק אמפר בצורה הבאה: $\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}I={\frac {4\pi }{c}}\iint {\vec {J}}\cdot {\vec {dA}}$, ובאמצעות משפט סטוקס לקבל: $\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}$ .

דוגמה

כאשר יש סימטריה גלילית לבעיה (כגון זרם הזורם בתיל ישר ואינסופי), נוח לבחור משטח סגור שהוא מעגל קונצנטרי ברדיוס r ולחשב סביבו את השדה המגנטי המשיק. את כיוון השדה אפשר למצוא באמצעות כלל יד ימין. משיקולי סימטריה נובע שבכל נקודה סביב המעגל השדה הוא אותו שדה ובפרט בעל אותו גודל. לכן, $\ \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=B\cdot 2\pi r$, ומכאן

ביחידות SI: $\ {\vec {B}}(r)={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I}{r}}{\hat {\varphi }}$

ביחידות CGS: $\ {\vec {B}}(r)={\frac {2}{c}}{\frac {I}{r}}{\hat {\varphi }}$

חוק אמפר המתוקן

האמור לעיל נכון, כל עוד השדה החשמלי איננו משתנה בזמן (או ששינויו איטי ביותר – הקירוב האלקטרוסטטי). כאשר השדה החשמלי משתנה בזמן, נוצר שדה מגנטי כתוצאה מהשראה אלקטרומגנטית, בנוסף לזה הנוצר על ידי הזרם. במקרה זה, יש לתקן את החוק. הצורך בתיקון, כמו גם התיקון עצמו, נתגלה על ידי הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול, אשר שם לב לבעיה בחוק אמפר המקורי כאשר משתמשים בו לתיאור טעינה/פריקה של קבל. ובאמת: אם נבחר את המסלול שלנו כך שיקיף קטע של חוט החשמל ליד הקבל, ונמתח את המשטח שדרכו אנחנו מחשבים את שטף צפיפות הזרם כך, שיעבור דרך אמצע הקבל, כלומר, הוא לא "יינקב" על ידי שום קו שזורם בו זרם, צד ימין של חוק אמפר יהיה 0, אך כאשר קבל נטען או נפרק, במעגל עצמו זורם זרם אשר יוצר שדה מגנטי עם רוטור לא-אפסי, והרי לנו סתירה. סתירה אחרת נובעת ממשפטי האנליזה הווקטורית: אם ניקח דיברגנץ משני צידי החוק, הדיברגנץ של הרוטור שבצד שמאל של יהיה 0 (דיברגנץ של רוטור שווה באופן זהותי ל-0), אך הדיברגנץ של צפיפות הזרם (צד ימין של החוק) לאו דווקא שווה לאפס.

כתוצאה משיקולים אלה וניתוח מתמטי תוך שימוש במודל מכני, קיבל מקסוול את חוק אמפר המתוקן, או את חוק אמפר-מקסוול (ביחידות cgs):

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}({\vec {r}},t)={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}}({\vec {r}},t)$

וביחידות SI: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}({\vec {r}},t)=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}}({\vec {r}},t)$

הגודל $\ {\frac {1}{4\pi k_{0}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}}({\vec {r}},t)$ (כאשר $\ k_{0}$ שווה בהתאמה ל-1 עבור מערכת CGS ול- $\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$ עבור מערכת SI) נקרא זרם העתקה, זכר למודל המכני של מקסוול, ומסומן לעיתים $\ J_{d}$. תוך שימוש בסימון זה, חוק אמפר-מקסוול נראה כך:

במערכת CGS: $\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}({\vec {J}}+{\vec {J_{d}}})$;

במערכת SI: $\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {J}}+{\vec {J_{d}}})$

גילוי זה של השראת שדה מגנטי על ידי השתנות של השדה החשמלי חתם את משוואות מקסוול וסלל את הדרך לגילויים של גלים אלקטרומגנטיים, ובפרט להסבר אופיו הגלי של האור, אשר התגלה בניסוי שני הסדקים ב-1802.

ראו גם

• משוואות מקסוול
• חשמל
• מגנטיות
• חוק ביו-סבר
• חוק פאראדיי
• חוק גאוס

קישורים חיצוניים

• חוק אמפר
• חוק אמפר הגרסה הכללית של מקסוול
• עוד על חוק אמפר
• קבועים בחשמל ומגנטיות
• חוק אמפר כנגזרת של משוואות מקסוול השנייה