שדה המספרים הניתנים לבנייה

שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה.

אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואבר היחידה של השדה). הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.

לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך 0 ו־1, ואת שני המעגלים שרדיוסם 1, ומרכזיהם 0 ו־1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות $-1,2,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}},{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}$ . כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.

לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף S של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב־$S$ סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ . מזה נובע כי $S$ (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על־פי משפט דה-מואבר) מוכח כי $S$ סגור גם לכפל וחילוק.

תכונה חשובה של השדה $S$ היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב־$S$ שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות). למעשה, $S$ הוא תת־השדה הקטן ביותר של $\mathbb {C}$ הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת 2, ולהפך: הממד של סגור גלואה של כל תת־שדה מממד סופי של $S$ הוא חזקת 2. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת 2 (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל־$S$ , ולכן אינו ניתן לבנייה.

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

כדי להראות שהבעיות הגאומטריות של ימי קדם אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות:

• אי אפשר להכפיל את הקובייה, משום שהצלע המבוקשת ${\sqrt[{3}]{2}}$ , יוצרת שדה מממד 3.
• אי אפשר לבנות זווית של 20 מעלות, משום ש־$\cos(20^{\circ })$ הוא שורש של הפולינום האי־פריק $8x^{3}-6x-1$ (את הזווית של 60 מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים).
• אי אפשר לרבע את המעגל משום ש־${\sqrt {\pi }}$ מספר טרנסצנדנטי ולכן אינו ניתן לבנייה.
• אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ , ו־6 אינו חזקה של 2.