העתקה ליניארית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, היא העתקה אדיטיבית והומוגנית בין שני מרחבים וקטוריים (מעל אותו שדה). במילים אחרות, זוהי פונקציה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, השומרת על החיבור והכפל בסקלר. מכיוון שהעתקה ליניארית שומרת על כל הפעולות, היא מהווה מורפיזם בקטגוריה של המרחבים מעל השדה.

העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בווקטור במרחב (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות איזומורפיים). תכונה שימושית זאת מאפשרת להסתכל על מטריצות כפונקציות בין מרחבים וקטורים, להסתכל על העתקות ליניארית כמטריצות ולהקיש לגבי תכונות משותפות.

להעתקה ליניארית ממרחב $V$ אל עצמו, כלומר $T\colon V\to V$, נהוג לעיתים לקרוא אופרטור ליניארי, אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.

הגדרה

העתקה $T$ ממרחב וקטורי $V$ מעל שדה F אל מרחב וקטורי $W$ (מסמנים $T\colon V\to W$) תקרא העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. $T$ משמרת חיבור (אדיטיביות): לכל שני וקטורים $v,u$ השייכים למרחב $V$ מתקיים: $T(v+u)=T(v)+T(u)$
2. $T$ משמרת כפל בסקלר (הומוגניות): לכל וקטור $v$ השייך למרחב $V$, ולכל סקלר $\alpha$ השייך לשדה F מתקיים: $T(\alpha v)=\alpha T(v)$

משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $T$ (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים $v,u$ ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $T$ על התוצאה של כפל הווקטור $v$ בסקלר $\alpha$, או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור $v$ ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר $\alpha$ - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.

מההגדרה נובעת התכונה הכללית, שבהינתן וקטורים $\{v_{k}\}_{k=1}^{n}$ וסקלרים $\{\lambda _{k}\}_{k=1}^{n}$ מתקיים:

$$\ T\left(\sum _{k=1}^{n}{\lambda _{k}v_{k}}\right)=\sum _{k=1}^{n}{\lambda _{k}{T(v_{k})}}$$

מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה, היא שהגרעין של העתקה ליניארית לעולם אינו הקבוצה הריקה ותמיד כולל את וקטור האפס ${\vec {0}}\in V$:

$$\ T({\vec {0}})=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)={\vec {0}}$$

מסקנה נוספת מכך היא קריטריון הכרחי לכך שפונקציה בין מרחבים וקטוריים היא העתקה ליניארית. אם $T\colon V\to W$ היא העתקה ליניארית אז $T({\vec {0}})={\vec {0}}$. מאחר שקל לבדוק תנאי זה הוא מהווה כלי יעיל כדי לשלול את היותה של פונקציה חשודה העתקה ליניארית: אם T לא מעבירה אפס לאפס אז היא לא העתקה ליניארית.

דוגמאות

• אם $A$ היא מטריצה מסדר $m\times n$, אז $A$ מגדירה העתקה ליניארית $T_{A}\colon \mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m}$ מ-$\mathbb {F} ^{n}$ ל-$\mathbb {F} ^{m}$ כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב $\mathbb {F} ^{n}$ על ידי כפל מטריצות מימין: $T_{A}({\vec {x}})=A{\vec {x}}$ זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מממד סופי בדרך זו.
• טרנספורמציית האפס $\mathbf {0} \colon V\to W$ (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את וקטור האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות $\operatorname {Id} \colon V\to V$ (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם $V=\mathbb {R} ^{n},W=\mathbb {R} ^{m}$ אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-$T_{A}$ כאשר $A$ היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות $\operatorname {Id} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ניתן לייצג כ-$T_{A}$ על ידי $A=I_{n}$ כאשר $I_{n}$ היא מטריצת היחידה מסדר $n$ (כלומר, בגודל $n\times n$).
• ההעתקה $T_{A}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ עם $A={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}$ היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה-$x$ פי $2$, בעוד את ציר ה-$y$ היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש:
  $${\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2x\\y\end{bmatrix}}$$
  ולכן $T_{A}(x,y)=(2x,y)$. קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.
• טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-$\mathbb {R} ^{2}$, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה-$x$ היא טרנספורמציה ליניארית.
• גזירה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).
• פונקציה $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ היא העתקה ליניארית אם ורק אם היא מהצורה $f(x)=\alpha x$ באשר $\alpha \in \mathbb {R}$. נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת קו ישר במישור האוקלידי) $g(x)=\alpha x+\beta$ היא העתקה ליניארית אם ורק אם $\beta =0$. קל לראות שאחרת $g$ לא מעבירה ${\vec {0}}$ ל-${\vec {0}}$ (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש-$\beta \neq 0$ ונראה ש-$g$ לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות):
  $$2\alpha +\beta =g(2)=g(1+1)\neq g(1)+g(1)=(\alpha +\beta )+(\alpha +\beta )=2\alpha +2\beta$$
  פונקציה $g$ כזאת נקראת העתקה אפינית. נעיר שלהעתקות אפיניות יש חשיבות מיוחדת כשדנים בגזירת פונקציות בכמה משתנים (דיפרנציאביליות).

• 
  הפונקציה ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ שמוגדרת על-ידי ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ היא העתקה ליניארית. פונקציה זו מותחת את רכיב ה-${\textstyle x}$ בפקטור ${\textstyle 2}$.
• 
  הפונקציה היא אדטיבית ושומרת על חיבור: ${\textstyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
• 
  הפונקציה היא הומוגנית: אפשר למתוח את הקלט ואז להפעיל את הפונקציה או להפעיל את הפונקציה ואז למתוח את הפלט. כלומר: ${\textstyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$

סוגי העתקות ליניאריות

יהיו $V$ ו-$W$ מרחבים וקטוריים מעל שדה כלשהו $F$, ו-$T$ העתקה ליניארית מ-$V$ ל-$W$.

• נאמר ש-$T$ היא הומומורפיזם (של מרחבים וקטוריים) אם $T$ היא העתקה ליניארית.
• נאמר ש-$T$ היא מונומורפיזם אם $T$ חח"ע (חד חד ערכית).
• נאמר ש-$T$ היא אפימורפיזם אם $T$ על.
• נאמר ש-$T$ היא איזומורפיזם אם $T$ היא הפיכה.

אם מתקיים שוויון בין ממדי המרחבים $V$ ו-$W$, אזי 3 התכונות הללו שקולות זו לזו. אומרים כי המרחב הווקטורי $V$ הוא הופפיאני וקו-הופפיאני^{[דרושה הבהרה]}.

מרחב ההעתקות הליניאריות

אוסף כל ההעתקות הליניאריות מ-$\mathbb {R} ^{n}$ ל-$\mathbb {R} ^{m}$ מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד $m\cdot n$. על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות ליניאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם $T_{1},T_{2}$ הן העתקות ליניאריות מ-$\mathbb {R} ^{n}$ ל-$\mathbb {R} ^{m}$, ו-$\alpha$ הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:

• $(T_{1}+T_{2})(v)=T_{1}(v)+T_{2}(v)$
• $(\alpha T_{1})(v)=\alpha \cdot T_{1}(v)$

וקטור האפס הוא טרנספורמציית האפס.

המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי $V$ למרחב וקטורי $W$ מסומן $\operatorname {Hom} (V,W)$. אם $V=\mathbb {R} ^{n},\ W=\mathbb {R} ^{m}$ אז

$$\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m\times n}=M_{m\times n}(\mathbb {R} )$$

כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות איזומורפי למרחב המטריצות עם $m$ שורות ו-$n$ עמודות.

גרעין ותמונה של העתקה ליניארית

תהי טרנספורמציה ליניארית $T\colon V\to W$.

הגרעין של $T$, המסומן $\ker(T)$ (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב$V$ שהטרנספורמציה מעבירה לווקטור ה-$0$ של $W$. כלומר:${\textstyle \ \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}}$

משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא מרחב וקטורי חלקי (תת-מרחב) ל-$V$ - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.

התמונה של $T$, המסומנת $\operatorname {Im} (T)$ (מהמילה Image - תמונה), היא קבוצה המכילה את כל איברי $W$ שקיים להם מקור ב-$V$, כלומר:

$$\ \operatorname {Im} (T)=\{w\in W\mid \exists v\in V:w=T(v)\}=\{T(v)\mid v\in V\}=T(V)$$

גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה מרחב וקטורי, החלקי ל-$W$.

משפט הממד

תכונה חשובה המתקיימת עבור העתקות היא משפט הממד עבור העתקות במרחב מממד סופי:

משפט הממד: לכל מרחב $V$ מממד סופי ולכל טרנספורמציה ליניארית $T:V\rightarrow W$ מתקיים:

$\dim(\operatorname {Im} (T))+\dim(\ker(T))=\dim(V)$.

נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח $W$, אלא רק בממד של התחום $V$, אך מן המשפט נובע שיש קשר בין ממד הגרעין וממד התמונה, לממד התחום וממד הטווח:$\dim(\operatorname {Im} (T))\leq \dim(W)$ ולכן $\dim(\ker(T))\geq \dim(V)-\dim(W)$

הוכחה

יהיו $\{\ v_{1},...,\ v_{n}\}$ הבסיס של $\ker(T)$ ויהיו $\{\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ וקטורים כך ש-$\{\ T(u_{1}),...,\ T(u_{m})\}$ מהווים בסיס ל-$\operatorname {Im} (T)$ צ"ל: $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ מהווה בסיס ל-$V$. נראה כי הקבוצה בת"ל (בלתי תלויה ליניארית): יהיו $a_{1},...,\ a_{n},\ b_{1},...,\ b_{m}$ סקלרים כך ש- $\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=0_{V}$ לכן בהכרח $0_{W}=\ T(0_{V})=\ T(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}})=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\ T(v_{i})}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}=0+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}=\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}$ לכן, כיוון ש-$\{\ T(u_{1}),...,\ T(u_{m})\}$ בת"ל, לכל $j$ מתקיים $b_{j}=0$ נציב ב-$\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=0_{V}$ ונקבל כי $0_{V}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}$ וכיוון ש-$\{\ v_{1},...,\ v_{n}\}$ בת"ל נקבל כי לכל $i$ מתקיים כי $a_{i}=0$ כלומר, רק עבור הסקלרים הטריביאליים הקומבינציה של הקבוצה $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ שווה $0_{V}$ ולכן הקבוצה בת”ל מעל $F$. נראה כי הקבוצה פורשת: יהי ${\vec {v}}\in \ V$, מתקיים $T({\vec {v}})\in \ \operatorname {Im} (T)$ לכן, קיימים סקלרים $b_{1},...,\ b_{m}$ כך ש-$\sum _{j=1}^{m}{b_{j}T(u_{j})}=\ T({\vec {v}})$. נעביר אגפים ונקבל כי $0_{W}=\ T({\vec {v}})-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}T(u_{j})}=\ T({\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}})$ ולכן ${\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}\in \ \ker(T)$ לכן, קיימים סקלרים $a_{1},...,\ a_{n}$ כך ש-${\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}$ ולכן ${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}$ ולכן הקבוצה $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ פורשת את $V$. לכן הקבוצה $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ מהווה בסיס עבור $V$ ולכן מתקיים $\dim(\operatorname {Im} (T))+\dim(\ker(T))=\ n+\ m=\dim(V)$. מ.ש.ל.

מטריצה מייצגת של העתקה ליניארית

יהיו $V$ ו-$W$ מרחבים וקטורים מממד סופי מעל שדה כלשהו $F$, ו-$T\colon V\to W$ העתקה ליניארית מ-$V$ ל-$W$. נקבע $B=\{v_{1},...,v_{n}\}$ בסיס של $V$ ו-$C=\{w_{1},...,w_{m}\}$ בסיס של $W$. לכל וקטור ב-$V$ ניתן להתאים את וקטור הקואורדינטות שלו לפי הבסיס $B$, ‏$V\ni v\mapsto [v]_{B}\in \mathbb {R} ^{n}$ ובאופן דומה $W\ni w\mapsto [w]_{C}\in \mathbb {R} ^{m}$.

נגדיר את המטריצה המייצגת של $T$ ביחס לבסיסים $B$ ו-$C$, שתסומן ${[T]_{C}^{B}}\in F^{m\times n}$ כמטריצה שמקיימת את הקשר הבא:

$$\forall v\in V:\ \ [T(v)]_{C}=[T]_{C}^{B}[v]_{B}$$

ניתן לחשב אותה במפורש על ידי הנוסחה $\left({[T]_{C}^{B}}\right)_{ij}:=([T(v_{j})]_{C})_{i}$ אך בפועל ישנן דרכים פשוטות יותר לחשב אותה.

תכונות

• נסמן ב-$B'$ בסיס נוסף של $V$ וב-$C'$ בסיס נוסף של $W$. נסמן ב-$M_{B'}^{B}$את מטריצת המעבר מבסיס $B$ לבסיס $B'$ וב-$M_{C'}^{C}$ את מטריצת המעבר מבסיס $C$ לבסיס $C'$. אזי $[T]_{C'}^{B'}=M_{C'}^{C}[T]_{C}^{B}M_{B}^{B'}$ כאשר $M_{B}^{B'}=\left(M_{B'}^{B}\right)^{-1}$.

• יהי $U$ מרחב וקטורי נוסף מעל $F$ עם בסיס $D$ ותהי $S:W\rightarrow U$ העתקה ליניארית נוספת. אזי $[S\circ T]_{D}^{B}=[S]_{D}^{C}[T]_{C}^{B}$

ההעתקה הדואלית

יהיו $V$ ו-$W$ מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו $F$, ו-$T$ העתקה ליניארית מ-$V$ ל-$W$.

נתבונן במרחבים הדואליים $V^{*}$ ו-$W^{*}$ ונגדיר את ההעתקה הדואלית $T^{*}:W^{*}\to V^{*}$ על ידי:

$(T^{*}(\varphi ))(v):=\varphi (T(v))$

כאשר $\varphi \in W^{*}$ ו-$v\in V$.

תכונות

• $T^{*}$ היא העתקה ליניארית ומוגדרת היטב.
• $\ker(T^{*})=(ImT)^{0}$.
• $\operatorname {Im} (T^{*})=(\ker(T))^{0}$.
• $T$ חח"ע אם ורק אם $T^{*}$ על.
• $T^{*}$ חח"ע אם ורק אם $T$ על.
• יהי $B$ בסיס ל-$V$ ו-$C$ בסיס ל-$W$. נסמן ב-$B^{*}$ וב-$C^{*}$ בסיסים דואליים ל-$B$ ו-$C$ בהתאמה. אזי: ${[T^{*}]_{B^{*}}^{C^{*}}}=({[T^{*}]_{C}^{B}})^{t}$.
• נסמן ב-$C_{V}$ וב-$C_{W}$ את האיזומורפיזמים הקנוניים של $V$ ו-$W$ בהתאמה. נגדיר: $T^{**}:=(T^{*})^{*}$. אז מתקיים: $T^{**}\circ C_{V}=C_{W}\circ T$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא העתקה ליניארית בוויקישיתוף

• העתקה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32656720העתקה ליניארית