מומנט התמד

מומנט ההתמד של מסה (ידוע גם בשמות מומנט אינרציה, או מסה זוויתית) מתאר את היחס בין המומנט המופעל על הגוף לבין התאוצה הזוויתית שאותה יפתח הגוף סביב ציר הסיבוב (בדומה לתנועה קווית, שם המסה מתארת את היחס בין הכוח הפועל על הגוף לתאוצת הגוף).

מומנט ההתמד הוא תכונה של גוף עבור ציר סיבוב מסוים: אין משמעות לביטוי "מומנט ההתמד של הגוף", ללא ציון הציר סביבו הוא מחושב או נמדד.

הגדרה מתמטית

$I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{m}r^{2}\,dm=\int _{V}r^{2}(v)\,\rho (v)\,dv=\iiint _{V}r^{2}(x,y,z)\,\rho (x,y,z)\,dx\,dy\,dz\!$

כאשר:

• $\ V$ - הוא נפח הגוף
• $\ r$ - הוא המרחק של יחידת מסה מציר הסיבוב
• $\ m$ - היא מסת הגוף
• $\ \rho$ - הוא פונקציית הצפיפות של הגוף
• $\ x,y,z$ - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

הסבר אינטואיטיבי

כדי לסובב כדורסל על חוד מחודד צריך להשקיע הרבה פחות מאמץ מאשר כדי לסובב כדור באולינג באותה מהירות. באופן דומה- יותר קל לעצור כדורסל מסתובב מאשר כדור באולינג שמסתובב באותה מהירות. ההסבר לתופעה הוא שהמסה של כדור הבאולינג הרבה יותר גדולה. וזו משפיעה על השינוי ב"מהירות סיבוב" של גוף מסוים על ציר. אותו הגורם ניקרא "מומנט התמד".

ניתן להגיד באופן כללי, שאם לשני גופים צורה וממדים זהים אזי הגוף בעל המסה הגדולה יותר יהיה גם בעל מומנט ההתמד הגדול יותר לכן קל יותר לסובב כדורסל (מאשר כדור באולינג הזהה לו) שהוא בעל מומנט התמד קטן יותר.

בנוסף, למשקולת, אשר רוב משקלה מרוכז בקצוות, מומנט ההתמד גדול יותר מאשר למשקולת כדורית באותו המשקל. לכן קל יותר לעצור משקולת כדורית מסתובבת מאשר את המשקולת הראשונה שמסתובבת על ציר. ובאופן כללי ניתן להגיד שמומנט ההתמד תלוי לא רק בצורה אלא גם בהתפלגות המסה. כלומר, 2 גופים בעלי אותה מסה שבאחד חלק מהמסה רחוקה יותר מציר הסיבוב יהיה בעל מומנט התמד גבוה יותר (כמו המשקולת שאינה כדורית).

את שני הקריטריונים הנ"ל (גודל המסה, וההתפלגות שלה) ניתן לראות מתוך ההגדרה.

ישנן מכוניות צעצוע רבות שניתן להתחיל להסיע אותן והן ממשיכות לנסוע מעצמן. בתוך המכונית נמצא גלגל מתכת כבד יחסית (גלגל תנופה). גלגל זה הוא בעל מומנט התמד גדול (יחסית) ולאחר שמתחילים להסיע את המכונית הוא מתחיל להסתובב וכשעוזבים אותה הוא ממשיך להניע. מומנט ההתמד הגבוה שלו מונע ממנו להאט במהירות (האטה שנגרמת תמיד בגלל כוח החיכוך) וכך המכונית ממשיכה לנסוע.

הסבר איכותי ושימושים

השימוש הבסיסי ביותר במומנט התמד הוא:

$\ \sum {\vec {\tau }}=I\ {\vec {\alpha }}$

כאשר:

• ${\vec {\alpha }}$ - התאוצה הזוויתית של גוף (שקולה לתאוצה קווית בתנועה בקו ישר)
• $\ I$ - מומנט ההתמד של הגוף שהוא גודל סקלרי, לא וקטור (במקרה הפשוט $\ I=mr^{2}$ ובעצם שקול למסה של הגוף בתנועה בקו ישר)
• ${\vec {\tau }}$ - מומנט הכוח. (שקול לכוח בתנועה בקו ישר)

ולכן נוסחת המומנט בתנועה מעגלית שקולה לחוק השני של ניוטון בתנועה בקו ישר:

$\ \sum {\vec {F}}=m\ {\vec {a}}$

מכאן רואים שככל שנפעיל מומנט כוח גדול יותר על הגוף כך נקבל תאוצה זוויתית גדולה יותר. תאוצה זוויתית זו תתקבל ביחס ישר כאשר I הוא קבוע היחס.

הסבר

הנוסחה עבור חישוב מומנט התמד של גוף מסוים היא:

$\ I=\int _{m}r^{2}dm=\int _{v}r^{2}\rho \,dv$

כאשר:

• $\ I$ - מומנט ההתמד.
• $\rho \,$ - צפיפות המסה.
• $\ r$ - מרחק אנכי מציר הסיבוב
• $\ m$ - מסת הגוף
• $\ v$ - נפח הגוף

במקרה הבדיד (מספר סופי של חלקיקים נקודתיים בעלי מסה מוגדרת לכל אחד) ניתן להשתמש בנוסחה:

$\ I=\sum _{i}^{N}m_{i}r_{i}^{2}$

חישוב מומנט התמד של גוף מורכב

עבור חישוב מומנט התמד של גוף כללי ("מסובך") המורכב ממספר גופים נדרש לבצע:

• חישוב מומנט ההתמד של כל אחת מן המסות אשר מרכיבות את הגוף סביב הציר בו הגוף מסתובב
  • במקרה של מסה לא נקודתית המרכיבה את הגוף (מלבן, עיגול) נחשב את מומנט ההתמד שלה סביב הציר הרצוי בעזרת משפט שטיינר
• נבצע חיבור של כל מומנטי ההתמד ונקבל את מומנט ההתמד השקול של הגוף הכללי

סכום מומנטי ההתמד

סכום מומנטי ההתמד למערכת צירים ישרת זווית איננו מושפע מהכוון של הצירים אלא רק ממיקום מוצא הצירים.

$\ I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\iiint _{V}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv+\iiint _{V}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv+\iiint _{V}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv\!$

$\ I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\iiint _{V}2(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv=\iiint _{V}2r^{2}\,\rho (v)\,dv\!$

כאשר:

• $\ V$ - הוא נפח הגוף
• $\ r$ - הוא המרחק של יחידת מסה מראשית הצירים
• $\ \rho$ - הוא פונקציית הצפיפות של הגוף
• $\ x,y,z$ - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

מומנטי התמד של גופים שונים, סביב ציר הסיבוב

	${\frac {1}{2}}Mr^{2}$		${\frac {1}{12}}Ml^{2}$
	${\frac {1}{12}}M(a^{2}+b^{2})$		${\frac {2}{5}}Mr^{2}$		${\frac {1}{2}}M({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2})$

כאשר:

• $\ M$ - היא מסת הגוף
• $\ r$ - הוא רדיוס הגליל או הכדור ביחידות אורך
• $\ h$ - הוא גובה הגליל ביחידות אורך
• $\ a,b$ - הם ממדי התיבה ביחידות אורך
• $\ l$ - הוא אורך הגליל ביחידות אורך

ראו גם

• טנזור התמד
• משפט שטיינר
• מומנט ההתמד של השטח
• מומנט התמד פולרי של השטח
• מומנט התמד פולרי מנורמל

לקריאה נוספת

• Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 6th ed. by The McGraw-Hill Companies, 2003
• Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מומנט התמד בוויקישיתוף

• ד"ר אבי סאייג, חולה על כדורגל, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 26 ביוני 2018
• מומנטי אינרציה לגופים שונים, באנגלית
• מומנט האינרציה של המסה, באנגלית efanda.
• מומנט האינרציה, באנגלית
• מומנט התמד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מומנט התמד, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

---

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33356121מומנט התמד