טנזור התמד

טנזור ההתמד (או טנזור האינרציה) הוא דרך נוחה וקצרה להציג את מומנטי ההתמד של הגוף. כתיבת מומנט ההתמד כטנזור מאפשרת למצוא קשר נוח בין המהירות הזוויתית של גוף לתנע הזוויתי ולאנרגיה הקינטית שלו.

הקדמה – תנע זוויתי

תנע זוויתי של גוף (אלמנט מסה) ביחס לציר מסוים מוגדר כמכפלה וקטורית של התנע הקווי במרחק מהציר: ${\vec {dL}}={\vec {r}}\times {\vec {dp}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}dm=dm{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

כאשר:

• ${\vec {dL}}$ הוא תנע זוויתי של אלמנט מסה
• ${\vec {p}}$ התנע הקווי
• ${\vec {v}}$ וקטור המהירות
• $dm$ אלמנט המסה
• ${\vec {r}}$ הוא וקטור המרחק של אלמנט המסה מציר הסיבוב. במערכת צירים קרטזית הווקטור נתון על ידי ${\vec {r}}=(x,y,z)$
• ${\vec {\omega }}$ וקטור המהירות הזוויתית של אלמנט המסה. במערכת צירים קרטזית הווקטור נתון על ידי ${\vec {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})$

נוכל לחשב את התנע הזוויתי בדרך של חישוב מכפלות וקטוריות בעזרת דטרמיננטות.

${\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\x&y&z\end{vmatrix}}=(\omega _{y}z-\omega _{z}y,\omega _{z}x-\omega _{x}z,\omega _{x}y-\omega _{y}x)$

${\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\x&y&z\\\omega _{y}z-\omega _{z}y&\omega _{z}x-\omega _{x}z&\omega _{x}y-\omega _{y}x\end{vmatrix}}=(\omega _{x}y^{2}-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz+\omega _{x}z^{2},\omega _{y}z^{2}-\omega _{z}yz-\omega _{x}yx+\omega _{y}x^{2},\omega _{z}x^{2}-\omega _{x}zx-\omega _{y}zy+\omega _{z}y^{2})$

נוכל לפשט את הביטוי:

${\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})=\omega _{x}(y^{2}+z^{2},-yx,-zx)+\omega _{y}(-xy,z^{2}+x^{2},-zy)+\omega _{z}(-xz,-yz,x^{2}+y^{2})$

כעת כדי למצוא את התנע הזוויתי הכולל, נבצע אינטגרל מ0 עד M (כך ש-M היא המסה הכוללת של הגוף המסתובב):

${\vec {L}}=\int \limits _{0}^{M}dm{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$, וכדי לפתור את האינטגרל יהיה עלינו רק לסכום את המכפלות הווקטוריות עבור כל רכיב בנפרד.

$L_{x}=\iiint \limits _{V}\omega _{x}(y^{2}+z^{2})\rho (r)dV-\iiint \limits _{V}\omega _{y}yx\rho (r)dV-\iiint \limits _{V}\omega _{z}zx\rho (r)dV$

$L_{y}=-\iiint \limits _{V}\omega _{x}xy\rho (r)dV+\iiint \limits _{V}\omega _{y}(z^{2}+x^{2})\rho (r)dV-\iiint \limits _{V}\omega _{z}zy\rho (r)dV$

$L_{z}=-\iiint \limits _{V}\omega _{x}xz\rho (r)dV-\iiint \limits _{V}\omega _{y}yz\rho (r)dV+\iiint \limits _{V}\omega _{z}(x^{2}+y^{2})\rho (r)dV$

V הוא פונקציית הנפח של הגוף, ו-ρ, פונקציית הצפיפות.

ניתן לרשום בצורה מטריציונית:

${\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\iiint \limits _{V}(y^{2}+z^{2})\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}yx\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}zx\rho (r)dV\\-\iiint \limits _{V}xy\rho (r)dV&\iiint \limits _{V}(z^{2}+x^{2})\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}zy\rho (r)dV\\-\iiint \limits _{V}xz\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}yz\rho (r)dV&\iiint \limits _{V}(x^{2}+y^{2})\rho (r)dV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$

המטריצה באגף השמאלי, היא וקטור התנע הזוויתי, המטריצה האמצעית היא טנזור ההתמד והמטריצה הימנית היא וקטור המהירות הזוויתית.

אם מדובר בגופים נקודתיים (לא גוף רציף), יש להחליף את האינטגרלים בסכומים.

לפעמים גם כותבים:

${\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$

הגדרה

$\mathbf {I} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}$

הרכיבים על האלכסון הראשי הם מומנטי התמד של המסה ביחס לציר המערכת:

• $\ I_{xx}$ - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר $\ X$ומוגדר כ: $I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$
• $\ I_{yy}$ - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר $\ Y$ומוגדר כ: $I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$
• $\ I_{zz}$ - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר $\ Z$ומוגדר כ: $I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!$

ושאר האיברים הם מכפלות הנקראות מכפלות התמד של המסה ביחס לזוג צירים נתון:

• $\ I_{xy}$ - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים $\ X,Y$ומוגדר כ: $I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}y_{i}\,\!$
• $\ I_{xz}$ - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים $\ X,Z$ומוגדר כ:$I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}z_{i}\,\!$
• $\ I_{yz}$ - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים $\ Y,Z$ומוגדר כ:$I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}y_{i}z_{i}\,\!$

ומתקיים $\ I_{xy}=I_{yx},I_{yz}=I_{zy},I_{xz}=I_{zx}$.

יתרונות לשימוש בטנזור בחישובים על גופים קשיחים

בעזרת טנזור ההתמד נוח להציג את התנע הזוויתי של הגוף בכפל מטריצות: $L=I\cdot \,\omega$ ונוח להציג את האנרגיה הקינטית של הגוף: $\ E_{k}={\frac {1}{2}}\,{\vec {\omega }}^{t}I{\vec {\omega }}$. ניתן לעבור מערכות צירים בעזרת הפעלת טרנספורמציה על טנזור ההתמד ללא צורך לחשב את מומנטי ההתמד מחדש במערכת הצירים החדשה. אם $\ T$ היא מטריצת סיבוב, ו $\ I$ הוא טנזור ההתמד במערכת צירים ידועה, אז טנזור ההתמד במערכת הצירים המתקבלת על ידי הפעלת $\ T$ נתון על ידי $I_{new}=T^{-1}\cdot I\cdot T$

מערכת צירים ראשית של גוף קשיח

מערכת שבה מכפלות ההתמד של הגוף מתאפסות נקראת מערכת צירים ראשיים. ובגלל העובדה שטנזור ההתמד הוא מטריצה סימטרית ניתן ללכסן אותו על ידי מערכת צירים אורתוגונלית. זוהי מסקנה בעלת משמעות פיזיקלית חשובה כי כתוצאה מכך לכל גוף תלת ממדי ניתן לבחור שלושה צירים ניצבים שיהוו עבורו צירים ראשיים. כיוון שהתנע הזוויתי מתקבל ממכפלת טנזור האינרציה במהירות הזוויתית, מתקבלת תופעה מפתיעה - התנע הזוויתי לא חייב להיות מקביל למהירות הזוויתית. תופעה זו גורמת לכך שגופים המסתובבים באופן חופשי, יכולים לבצע תנועה מסובכת למדי. אם, לדוגמה, נזרוק עט באוויר כך שהוא מסתובב בערך סביב צירו, נגלה כי קצוות העט "מציירים" באוויר מעגלים קטנים. תופעה זו מתקבל כיוון שחוק שימור התנע דורש כי התנע הזוויתי ישאר קבוע. אם המהירות הזוויתית אינה מקבילה לתנע הזוויתי, מוכרח להתקיים שווקטור המהירות הזוויתי יקיף את ווקטור התנע הזוויתי במעגלים. תופעה זו נקראת נקיפה (פרצסיה) ומתוארת מתמטית בעזרת משוואות אוילר תוך שימוש בטנזור ההתמד במערכת צירים ראשית.

דוגמאות

בטבלה מוצגים טנזורי מומנט ההתמד ביחס לצירים הראשיים של גופים פשוטים נוספים. להצגת הטבלה לחצו על "הצגה".

תיאור	תרשים הגוף	טנזור מומנט ההתמד
כדור מלא ברדיוס r ומסה m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{5}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{5}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{5}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
כדור חלול ברדיוס r ומסה m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{3}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{3}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
חרוט ברדיוס r, גובה h ומסה m, הציר עובר במרכז הבסיס		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {1}{10}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {3}{10}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
קובייה מלאה ברוחב w, גובה h, עומק d, ומסה m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})\end{bmatrix}}$
מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר בקצה (המוט רץ לאורך ציר z במקרה הזה)		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}ml^{2}&0&0\\0&{\frac {1}{3}}ml^{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$
מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר במרכז המוט (המוט רץ לאורך ציר z במקרה הזה)		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}ml^{2}&0&0\\0&{\frac {1}{12}}ml^{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$
גליל מלא ברדיוס r, גובה h ומסה m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}mr^{2}\end{bmatrix}}$

לקריאה נוספת

• Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
• Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים

• מומנט האינרציה כטנזור (באנגלית)
• טנזור האינרציה (באנגלית)
• מומנט האינרציה (באנגלית)
• רשימת נוסחאות למומנטי התמד בוויקיפדיה האנגלית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28886575טנזור התמד