משפט שטיינר-הויגנס
משפט שטיינר-הויגנס (נקרא גם משפט הצירים המקבילים, ולעיתים גם משפט שטיינר, נכתב על ידי יאקוב שטיינר וכריסטיאן הויגנס) הוא משפט במכניקה העוסק במומנטי התמד של המסה ומומנט התמד של שטח חתך. אם ידוע לנו מומנט ההתמד של גוף או של שטח סביב ציר העובר דרך מרכז המסה שלו, אזי נוכל למצוא את מומנט ההתמד שלו בקלות סביב כל ציר מקביל אחר המרוחק מרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} מהציר הראשון באמצעות משפט שטיינר-הויגנס. בנוסף, נפוץ השימוש במשפט על מנת לחשב במדויק שינויים למומנט התמד סביב ציר נתון בשל שינוי מרכז המסה (הוספת\החסרת משקל).
משפט שטיינר-הויגנס מנוסח עבור מומנטי התמד של המסה:
משפט שטיינר-הויגנס מנוסח באופן דומה עבור מומנטי ההתמד של השטח:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_s} - הוא מומנט ההתמד סביב ציר נתון S.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{c}} - הוא מומנט ההתמד סביב ציר C.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{cm}} - הוא מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר C העובר במרכז המסה שלו.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m} - היא מסת הגוף שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} - הוא שטח החתך שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} - הוא המרחק בין ציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_s} לבין ציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{cm}}
מומנט ההתמד עבור ציר המקביל לציר שמומנט ההתמד עבורו ידוע, שווה לאותו מומנט התמד ועוד מסת הגוף או שטח הגוף כפול המרחק בין הצירים בריבוע.
משפט שטיינר-הויגנס שימושי גם במכניקה של גוף תלת ממדי וגם בתחום הסטטיקה, בהנדסה אזרחית ובהנדסת מכונות עבור חישוב מומנטי התמד סביב צירים כלשהם כאשר ידוע מומנט ההתמד סביב ציר מסוים, בדרך כלל מרכז המסה או מרכז הכובד. נתוני מומנטי ההתמד סביב מרכז הכובד מופיעים בלוחות טכניים.
הוכחה
עבור גוף קשיח כלשהו, נניח, ללא הגבלת הכלליות, כי במערכת צירים קרטזית המרחק האנכי מציר s, לציר סיבוב מקביל לו, העובר דרך מרכז המסה, הוא לאורך ציר ה-x ,כך שציר הסיבוב מקביל לציר ה-z. כמו כן, לצורך נוחות נניח כי ראשית מערכת הצירים נמצאת במרכז המסה של הגוף. מומנט ההתמד של הגוף, יחסית למרכז המסה הוא לכן:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{cm} = \int{(x^2 + y^2)} dm}
מומנט האינרציה ביחס לציר הנתון s (המצוי במרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} לאורך ציר ה-x, ממרכז המסה) הוא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_s = \int{((x - r)^2 + y^2)} dm}
נפתח את הסוגרים ונקבל:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_s = \int{(x^2 + y^2)} dm + r^2 \int dm - 2r\int{x} dm}
האיבר הראשון הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{cm}} , האיבר השני הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ mr^2} , ואילו האיבר השלישי מתאפס משום ש-x נמדד ממרכז המסה (אינטגרל זה שווה בעצם למיקום רכיב ציר ה-x של מרכז המסה (עד כדי כפל במסה הכוללת), ולכן ביחס למרכז המסה, הגודל : מסה*(מיקום מרכז המסה ביחס למרכז המסה) = 0).
כלומר נקבל את הביטוי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_s = I_{cm} + mr^2\,}
הכללה עבור טנזור האינרציה
ניתן להוכיח באופן דומה כי בהינתן Jij טנזור ההתמד (טנזור האינרציה) ביחס לנקודה P שרירותית ו- Iij, טנזור האינרציה ביחד למרכז המסה G, מתקיים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{ij}=I_{ij} + m(\|\boldsymbol{PG}\|^2 \delta_{ij}-PG_iPG_j)\!}
כאשר
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{PG}=PG_1\boldsymbol{e_1}+PG_2\boldsymbol{e_2}+PG_3\boldsymbol{e_3}\!}
הוא הווקטור המחבר בין P ל- G, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij}\!} הוא הדלתא של קרונקר.
נשים לב שאם טנזור ההתמד הוא אלכסוני, נקבל את המקרה הפשוט המצוין לעיל.
(הערה - הווקטורים העצמיים אשר מלכסנים את טנזור ההתמד התלת ממדי הם הצירים הראשיים של המערכת. במקרה ולגוף יש סימטריות לסיבוב, צירי הסיבוב יתלכדו עם הצירים הראשיים).
ראו גם
לקריאה נוספת
- Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983. page 691.
- McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 6th ed. by The McGraw-Hill Companies, 2003
- Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970
קישורים חיצוניים
- משפט הצירים המקבילים(אנגלית)
- משפט הצירים המקבילים, efanda
- משפט הצירים המקבילים לפי מילון המדע והטכנולוגיה של מקגרו הילל
| מאמץ (הנדסה) | ||
|---|---|---|
| מאמצים | מאמץ • מאמץ גזירה • מאמץ כפיפה • מאמץ לחיצה • מאמץ מתיחה • מאמץ פיתול • מאמץ קריסה • עייפות החומר | |
| נושאי עזר | מומנט כפיפה • מומנט כוח • אלסטיות • מעוות • חוק הוק • עקומת מאמץ-עיבור • כניעה (הנדסה) | |
| מודולי האלסטיות | מודול האלסטיות • מודול הגזירה • מקדם פואסון • קבועי לאמה • מודול הנפח | |
| שטחים ונפחים | שטח • מומנט התמד • מומנט ההתמד של השטח • מומנט התמד פולרי של השטח • משפט שטיינר-הויגנס • טנזור התמד • טבלת טנזורי התמד • מומנט ראשון של שטח | |
| נושאים משלימים | חוזק חומרים • טנזור מאמצים • מאמצים ראשיים • מעגל מור • היפותזות חוזק • שיטות אנרגיה • חוקי קסטיליאנו | |
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] משפט שטיינר-הויגנס23386166