פונקציה חד-חד-ערכית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

פונקציה חד-חד-ערכית (חח"ע) היא פונקציה המקבלת כל ערך פעם אחת לכל היותר. כלומר, אין שני איברים שונים בתחום של הפונקציה שלשניהם מתאימה הפונקציה אותו ערך בטווח.

הגדרה

פונקציה $f:X\rightarrow Y$ היא חד-חד-ערכית, אם השוויון $f(a)=f(b)$ עבור $a,b$ ב- $X$ , מחייב $a=b$ . (או בניסוח מקביל $a\neq b$ גורר $f(a)\neq f(b)$ )

המונח "פונקציה חד-ערכית" אינו בשימוש, משום שכל פונקציה היא, מעצם הגדרתה, חד-ערכית: פונקציה מתאימה ערך יחיד $f(x)$ לכל איבר $x$ בתחום שעליו היא מוגדרת. בפונקציה חד-חד-ערכית גם הכיוון ההפוך נכון: היא מתאימה מקור יחיד, $x$ , לכל ערך $f(x)$ בתמונה שלה.

פונקציות חד-חד-ערכיות ממלאות תפקיד דומה גם כאשר הן מוגדרות בין קבוצות שיש עליהן מבנה נוסף (כגון יחס סדר, פעולות של מבנה אלגברי, טופולוגיה, ועוד). במקרה כזה (ולפעמים, כאשר מתקיימים תנאים נוספים), הפונקציה נקראת גם שיכון, משום שהיא משכנת את המבנה $X$ כתת-מבנה בתוך המבנה $Y$ , ובכך מאפשרת ללמוד מזה על זה, ולהשוות ביניהם.

תכונות

החד-חד-ערכיות של פונקציה $f:X\rightarrow Y$ מאפשרת להגדיר לה פונקציה הפוכה מן התמונה $f(X)=\{f(x):x\in X\}$ אל המקור $X$ : לכל $y\in f(X)$ , הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(y)$ מקבלת את הערך היחיד $x\in X$ המקיים $f(x)=y$ (היחידות שקולה כמובן לכך ש- $f$ חד-חד-ערכית). יש להבחין שהפונקציה אינה מוגדרת על כל $Y$ , אלא רק על התמונה של $X$ , ואכן ההרכבה $f^{-1}\circ f$ היא פונקציית הזהות על $X$ , ואילו ההרכבה $f\circ f^{-1}$ היא פונקציית הזהות על $f(X)$ , אבל אינה מוגדרת על כל $Y$ .
אם $f:X\rightarrow Y$ פונקציה ו- $A,B$ תת-קבוצות של $X$ , אז $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$ , אבל בדרך כלל אין שוויון בין הקבוצות; אם $f$ חד-חד-ערכית מתקבל שוויון.
נניח ש- $f:X\rightarrow Y$ ו- $g:Y\rightarrow Z$ הן שתי פונקציות. אם ההרכבה שלהן $g\circ f:X\rightarrow Z$ חד-חד-ערכית, אז גם $f$ בהכרח כזו (אולם $g$ לא בהכרח חד-חד-ערכית). מצד שני, אם גם $f$ וגם $g$ חד-חד-ערכיות, גם ההרכבה מקיימת תכונה זו.
תכונת החד-חד-ערכיות שקולה לתכונת ה"צמצום משמאל", במובן הבא: $f:X\rightarrow Y$ חד-חד-ערכית, אם ורק אם לכל שתי פונקציות $g,h:W\rightarrow X$ כך ש- $f\circ g=f\circ h$ , מתקיים $g=h$ . עובדה זו מאפשרת להגדיר בתורת הקטגוריות את המושג "פונקציה אינג'קטיבית", שהוא הכללה של "פונקציה חד-חד-ערכית" מן הקטגוריה של הקבוצות לקטגוריה כללית.

מעצם קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית $f:X\rightarrow Y$ אפשר להסיק שבקבוצה $Y$ יש לפחות אותו מספר איברים כמו ב- $X$ (אחרת לא ניתן היה להתאים לכל איבר של $X$ ערך נפרד). הבחנה זו עומדת בבסיס התורה של עוצמות: אומרים שהעוצמה של $X$ קטנה-או-שווה לעוצמה של $Y$ (היינו $|X|\leq |Y|$ ) אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ- $X$ ל- $Y$ .

דוגמאות

דוגמה לפונקציה חד-חד-ערכית: לכל איבר בתחום (הקבוצה X) מתאים איבר אחר בטווח (הקבוצה Y).
דוגמה לפונקציה שאינה חד-חד-ערכית: לאיברים 3 ו-4 בתחום מתאים אותו איבר בטווח.

הפונקציה $y=x$ היא פונקציה חד-חד-ערכית בכל הישר הממשי.
הפונקציה $y=x^{2}$ היא פונקציה חד-חד-ערכית בתחום $[0,\infty )$ אך אינה חד-חד-ערכית בכל הישר הממשי, מפני שלכל $x$ מתקיים: $x^{2}=(-x)^{2}$

הפונקציה הממשית $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ המוגדרת לפי השוויון $f(x)=2x+1$ היא חד-חד-ערכית, משום שאם $2x+1=2y+1$ אז בהכרח $x=y$ . לעומת זאת, הפונקציה $g(x)=x^{2}$ , המוגדרת על כל המספרים הממשיים, אינה חד-חד-ערכית, משום ש- $g(1)=g(-1)=1$ . הפונקציה $g$ מקבלת כל ערך (לכל היותר) פעמיים, ואם מצמצמים את תחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה אל המספרים החיוביים בלבד, הפונקציה המתקבלת היא חד-חד-ערכית.