חוג מנה
במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג $ R $ ואידיאל דו-צדדי $ I $, ב-$ R $ בונים את חוג המנה $ R/I $. מבחינה אינטואיטיבית, $ R/I $ מתקבל מ-$ R $ על ידי איפוס של כל איברי $ I $.
בניית חוג המנה
בהינתן חוג $ R $ ואידיאל דו-צדדי $ I $, ניתן להגדיר יחס שקילות $ \sim $ על $ R $ על ידי: $ a\sim b $ אם ורק אם $ b-a\in I $, ואומרים כי $ a $ שקול ל-$ b $ מודולו $ I $. מחלקת השקילות של איבר $ a $ ב-$ R $ נתונה על ידי: $ [a]=a+I=\{a+r:r\in I\} $. מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של $ a $ מודולו $ I $. את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-$ R/I $. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה $ R $ מודולו $ I $ על ידי הפעולות:
- $ [a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b] $
- $ [a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b] $
מתכונת הבליעה של אידיאל דו-צדדי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר - הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של $ R/I $ מוגדר להיות $ [0]=0+I=I $ ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות $ [1]=1+I $. ביחס לפעולות ואיברים אלו, $ R/I $ הוא חוג. ההעתקה $ \rho :R\rightarrow R/I $ המוגדרת על ידי $ \rho (x)=[x]=x+I $ היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של $ R/I $ נובע כי זהו הומומורפיזם על.
תכונות
- אם $ R $ הוא חוג חילופי, ו-$ I $ הוא אידיאל ב-$ R $, אז גם $ R/I $ הוא חוג חילופי; ייתכן כי $ R/I $ הוא חילופי בעוד ש-$ R $ אינו.
- הגרעין של ההעתקה הטבעית $ \rho :R\rightarrow R/I $ שווה ל-$ I $. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידיאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה $ R/I $ שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על $ R $ ואשר מתאפסים על $ I $. ליתר דיוק, בהינתן אידיאל דו-צדדי $ I $ בחוג $ R $ והומומורפיזם של חוגים $ f:R\rightarrow S $ אשר גרעינו מכיל את $ I $, קיים הומומורפיזם יחיד $ g:R/I\rightarrow S $ כך ש $ g\circ \rho =f $. ההעתקה $ g $ מוגדרת על ידי הכלל $ g([a])=f(a) $.
- כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומורפיזם של חוגים $ f:R\rightarrow S $ משרה איזומורפיזם בין חוג המנה $ R/\ker(f) $ לתמונה $ Im(f) $.
- בחוג חילופי $ R $ מתקיים שאידיאל $ I $ הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה $ R/I $ הוא תחום שלמות. יתר על כן, $ I $ הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם $ R/I $ הוא חוג פשוט, ובמקרה הקומוטטיבי זה שקול להיותו שדה.
- באמצעות ההעתקה הטבעית מ-$ R $ ל-$ R/I $ ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידיאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין האידיאלים ב-$ R $ המכילים את $ I $ לבין האידיאלים של $ R/I $. יתר על כן, אם $ J $ הוא אידיאל ב-$ R $ המכיל את $ I $, ו-$ J/I $ היא התמונה שלו ב-$ R/I $, אז חוגי המנה $ R/J $ ו-$ (R/I)/(J/I) $ איזומורפיים. ולכן מתקיים ש-$ J $ ראשוני/מקסימלי אם ורק אם $ J/I $ מקסימלי/ראשוני.
דוגמאות
- הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידיאלים הקיצוניים ביותר" בחוג - אידיאל האפס והחוג כולו. לכל חוג $ R $ מתקיים $ R/\{0\}\cong R $ ו-$ R/R\cong \{0\} $. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידיאל $ I $ "גדול יותר" כך החוג $ R/I $ "קטן יותר".
- בחוג המספרים השלמים $ \mathbb {Z} $, נסמן ב$ n\mathbb {Z} $ את האידיאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון $ n $. עבור $ x,y\in \mathbb {Z} $ מתקיים $ x-y\in n\mathbb {Z} $ אם ורק אם ל-$ x,y $ יש אותה שארית חלוקה ב-$ n $. לכן, חוג המנה $ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} $ מכיל $ n $ איברים - מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: $ \{[0],[1],\dots ,[n-1]\} $. מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו - זהו חוג בסיסי במתמטיקה.
- בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים $ \mathbb {R} [x] $, יהי $ I=\langle x^{2}+1\rangle $, האידיאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום $ x^{2}+1 $. חוג המנה $ \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle $ איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר $ [x] $ מקיימת ש $ [x]^{2}+[1]=[x^{2}+1]=[0] $, ולכן [x] הוא שורש ריבועי של מינוס אחד.
- באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה. נניח כי $ K $ הוא שדה וכי $ f $ הוא פולינום אי פריק ב $ K[x] $. המנה $ L=K[x]/\langle f\rangle $ היא שדה המכיל את $ K $ ושהאיבר $ [x] $ שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל $ K $ שווה ל-$ f $.
- שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור $ F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} $, השדה בעל 3 איברים, הפולינום $ f(x)=x^{2}+1 $ הוא אי-פריק מעל $ F_{3} $ (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה $ F_{3}[x]/\langle f\rangle $. זהו שדה עם $ 3^{2}=9 $ איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.
- חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה $ V=\{(x,y):x^{2}=y^{3}\}\subseteq \mathbb {R} ^{2} $, ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה $ \mathbb {R} [x,y]/(x^{2}-y^{3}) $, וזהו חוג הקואורדינטות של $ V $. ניתן ללמוד על הגאומטריה של $ V $ על ידי חקירה של חוג זה.
- נניח כי $ M $ היא יריעה דיפרנציאלית וכי $ p $ היא נקודה על $ M $. בחוג $ R=C^{\infty }(M) $ - חוג הפונקציות החלקות על $ M $, יהי $ I $ האידיאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של $ p $. חוג המנה $ R/I $ נקרא חוג הנבטים של $ M $ ב-$ p $. באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של $ M $ קרוב ל-$ p $.
ראו גם
קישורים חיצוניים
חוג מנה28175986Q619436