4-וקטור

4-וקטור הוא וקטור יחסותי בעל 4 רכיבים במרחב מינקובסקי שהוא בעל ארבעה ממדים: שלושה ממדי אורך וממד זמן אחד. 4-וקטור A מיוצג על ידי ארבעת הרכיבים שלו, $(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ . הרכיב ה- $\mu$ של 4-וקטור מסומן $A^{\mu }$ ובדרך כלל משתמשים בסימון מרושל במעט ואומרים כי $A^{\mu }$ הוא 4-וקטור, כאשר למעשה משמעותו המדוקדקת של סמל זה היא רכיב מסוים.

על מנת שארבעת הרכיבים יהוו 4-וקטור, עליהם לעבור (לפי הגדרה) טרנספורמצית לורנץ כך:

4-וקטור קונטרה-וריאנטי, כלומר כמו הדיפרנציאל $d{\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }\,_{\nu }x^{\nu }$
4-וקטור קו-וריאנטי, כלומר כמו הנגזרת ${\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}=(\Lambda ^{-1})^{\nu }\,_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}$

המספרים $\Lambda ^{\mu }\,_{\nu }$ מייצגים טרנספורמציות לורנץ ממערכת אחת לאחרת. 4-וקטור הוא טנזור מדרגה ראשונה. השתמשנו כאן, כפי שמקובל בטיפול ב4-וקטורים, בהסכם הסכימה של איינשטיין.

מקובל, כאשר ההקשר ברור, לקרוא ל-4-וקטור פשוט "וקטור".

מתמטיקה של 4-וקטור

התיאור הבסיסי ביותר של 4-וקטור הוא באמצעות 4 רכיביו במערכת ייחוס מסוימת $(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ , כפי שנאמר בתחילת דף זה, וגם מקובל לאגד את הרכיבים המרחביים לווקטור מרחבי ("3-וקטור") כך $(A^{0},{\vec {A}})$ . אם נדקדק יותר, הרי שזה היה וקטור קונטרה וריאנטי, וכמובן יש גם וקטורים קו-ווריאנטים, $(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})$ .

הקשר בין וקטור קונטרהוריאנטי לבין הגרסה הקווראינטית של הווקטור הוא בעזרת המטריקה,

$A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu },\ \ \ A^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }A_{\nu }$

כאשר המטריקה היא זו של מינקובסקי, כלומר

$\eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$

שהיא טנזור קווריאנטי וגם טנזור קונטרהווריאנטי מדרגה שנייה. באופן מעשי מסמנים

$A^{\mu }=(A^{0},{\vec {A}}),\ A_{\mu }=(A^{0},-{\vec {A}})$

כלומר הגרסה ה"נורמלית" של 4-וקטור היא הקונטרה-וריאנטית, והיא מגדירה את הגרסה הקווריאנטית. בחירה זו היא כמובן שרירותית, אך מקובלת ברב הספרים החדשים יותר. בעזרת המטריקה מגדירים מכפלה סקלרית של שני 4-וקטורים:

a\cdot b=a^{\mu }\eta _{\mu \nu }b^{\nu }\equiv a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a^{0}b^{0}-a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}

ואז הנורמה היא

\ \|a\|^{2}=a^{\mu }a_{\mu }=a^{\mu }\eta _{\mu \nu }a^{\nu }

כאשר השתמשנו בהסכם הסכימה של איינשטיין (סכימה על אינדקס שמופיע פעם עליון ופעם תחתון). כדאי להדגיש שזו אינה "נורמה" או "מכפלה סקלרית" במובן הרגיל, משום שה"נורמה" הזו יכולה להיות מספר מדומה (נורמה בריבוע שהיא מספר שלילי).

4-וקטורים בתורת היחסות הפרטית

המאורע/המקום

הראשוני ביותר בין ה-4-וקטורים הוא וקטור המקום (או נכון יותר ה"מאורע"), שמייצג נקודה מסוימת במרחב זמן: $x^{\mu }=(ct,{\vec {x}})$ , כלומר $(ct,x,y,z)$ .

נהוג למיין 4-וקטורים לפי הסימן של המכפלה שלהם עם עצמם, להלן (ההערכות בסוגריים מתייחסות למקרה שהווקטור הוא הפרש בין שני מאורעות):

אם $\ A^{\mu }A_{\mu }>0$ אומרים שהווקטור הוא timelike (אם 2 מאורעות מופרדים זמנית אז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו מקום, וכמו כן ייתכן קשר סיבתי ביניהם).
אם $\ A^{\mu }A_{\mu }<0$ אומרים שהווקטור הוא spacelike (אם 2 מאורעות מופרדים מרחבית אז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו זמן, ולא ייתכן קשר סיבתי ביניהם).
אם $\ A^{\mu }A_{\mu }=0$ אומרים שהווקטור הוא nulllike או lightlike (אם 2 מאורעות מופרדים אורית אז רק אפקטים הנעים במהירות האור יכולים לקשר ביניהם פיזיקלית וסיבתית).

המהירות והתאוצה

4-וקטור המהירות הוא $u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}$ , כאשר $\ \tau \$ הוא הזמן העצמי של החלקיק, ונקרא "4-מהירות". באופן דומה ה-"4-תאוצה" מוגדרת כך, $a^{\mu }={\frac {du^{\mu }}{d\tau }}$ .

הקשר בין ה-4-מהירות לבין המהירות של החלקיק, כלומר $\ {\vec {v}}=d{\vec {x}}/dt\$ הוא

$\ u^{\mu }=(\gamma (v)c,\gamma (v){\vec {v}})\$

הביטוי האנלוגי עבור התאוצה מסורבל ולא שימושי, ולכן לא מופיע כאן. ה-4 מהירות מקיימת תמיד $\ u^{\mu }u_{\mu }=c^{2}\$ , וזה לא משתנה עם תנועת החלקיק. לפיכך ניתן להסיק "אורתוגונליות" בין ה-4 מהירות ל-4 תאוצה במובן הבא: