הסכם הסכימה של איינשטיין

הסכם הסכימה של איינשטיין הוא סימון מקוצר המשמש בחשבונות הכוללים אנליזה מתמטית ואלגברה של טנזורים. הסימון הומצא על ידי הפיזיקאי אלברט איינשטיין בשנת 1916. איינשטיין תיאר בענווה את הסכם הסכימה כ'תרומתו הגדולה ביותר למתמטיקה', תיאור משעשע וצנוע שכן מדובר במוסכמה טכנית המקלה על רישום משוואות ולא בתגלית מתמטית בעלת משמעות כלשהי.

הקדמה

בפיזיקה, טנזור הוא עצם שיש בו מספר ערכים, והם עשויים להשתנות תחת הפעלת טרנספורמציה – אך תכונות מסוימות שלו צפויות להישמר, בעזרת כללים מסוימים שהוא מציית להם. הטנזור מאופיין בערכי רכיביו ובדרגה שלו: נוח לחשוב על דרגתו של טנזור כעל מספר האינדקסים החופשיים שלו. למשל: את הווקטור ${\vec {v}}=\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)$ במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{3}$ ניתן לכתוב בצורה $v^{\mu }$, והאינדקס $\mu$ מקבל את הערכים $\mu =x,y,z$ או $\mu =1,2,3$. הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^\mu} מייצג את הווקטור כקבוצה, וכדי לקבל את רכיבי הווקטור יש להציב ערכים באינדקס. למשל, בהצבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu=2} , יתקבל $v^{2}=v_{y}$. אינדקס כזה נקרא "אינדקס חופשי".

לטנזור יכולים להיות שני סוגי אינדקסים: אינדקסים עליונים ("קונטרה־ואריאנטיים", למשל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^\mu} ) ואינדקסים תחתונים ("קו־ואריאנטיים", למשל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_\mu} ). אינדקס תחתון מוגדר באמצעות המטריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_{\lambda \rho}} של המרחב שבו שוכן הטנזור:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_\lambda = \sum_\rho g_{\lambda \rho} a^\rho} לטנזור מסוים יכולים להיות בו זמנית אינדקסים משני הסוגים גם יחד. למשל, לטנזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_\sigma^{\mu \nu}} יש שני אינדקסים קונטרה־ואריאנטיים ואינדקס אחד קו־ואריאנטי.

הסכם הסכימה

לפי הסכם הסכימה, כאשר מופיע בביטוי טנזורי אותו אינדקס פעמיים – פעם אחת למעלה ופעם אחת למטה – האינדקס קשור (אינו חופשי), ויש לסכום את הביטוי על כל הערכים האפשריים שלו. למשל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^\lambda b_\lambda \equiv \sum_{\lambda}{a^\lambda b_\lambda}} כאשר הסכום רץ על כל הערכים האפשריים שהאינדקס יכול לקבל.

לחלופין, בעזרת הגדרת הווקטור הקו־וריאנטי, ניתן לכתוב:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^\mu b_\mu \equiv a^\mu \sum_\nu g_{\nu \mu}b^\nu\equiv\sum_{\mu,\nu}g_{\mu \nu}a^\mu b^\nu}

עבור מרחב אוקלידי שטוח, המטריקה שווה למטריצת היחידה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{ij} = \delta_{ij} = \delta^i_j} (הסימן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij}} הוא הדלתא של קרונקר), ולכן בפועל אין הבדל בין אינדקסים עליונים לאינדקסים תחתונים. במרחבים טנזוריים כלליים אין זה נכון, ויש להקפיד על מיקומו של האינדקס. לדוגמה, בתורת היחסות הפרטית, שבה המטריקה היא $g=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)$, תוצאת סכימה יכולה להיות:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^\mu b_\mu = \sum_{\mu=0}^{3}{a^\mu b_\mu} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 = a^0 b^0 - \left( a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 \right)}

ראו גם

• טנזור
• חשבון טנזורים
• אלגברה ליניארית
• תורת היחסות הכללית

קישורים חיצוניים

• הסכם הסכימה של איינשטיין, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35813895הסכם הסכימה של איינשטיין