ד'אלמברטיאן
(הופנה מהדף אופרטור ד'אלמבר)
במתמטיקה ופיזיקה, בעיקר בתחומים תורת היחסות הפרטית, אלקטרומגנטיות ותורת הגלים, אופרטור ד'אלמבר או ד'אלמברטיאן, המסומל באמצעות $ \scriptstyle \Box $ ("בוקס") ונקרא על שם ז'אן לה רון ד'אלמבר, הוא הרחבה של הלפלסיאן למרחב מינקובסקי ה-4 ממדי.
בקואורדינטות קרטזיות הוא מוגדר על ידי:
- $ {\begin{aligned}\Box &=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=g_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\end{aligned}} $
כאשר $ g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}} $ היא מטריקת מינקובסקי ו-$ \nabla ^{2} $ הוא הלפלסיאן והמכפלה מחושבת על פי הסכם הסכימה של איינשטיין.
שימושים
- משוואת קליין-גורדון נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:
- $ (\Box +m^{2})\psi =0.\, $
- כאשר $ \psi \, $ היא פונקציית הגל של חלקיק יחסותי חופשי חסר ספין ו-$ m\, $ היא מסת החלקיק.
- משוואת הגלים האלקטרומגנטיים בריק נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:
- $ \Box A^{\mu }=0 $
- כאשר $ A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}}) $ הוא ה-4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי היחסותי של השדה האלקטרומגנטי.
- משוואת הגלים לתנודות קטנות יכולה להכתב באמצעות הד'אלמברטיאן:
- $ \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0\, $
- כאשר $ u\left(x,t\right)\, $ זו התזוזה מנקודת שיווי המשקל.
- פונקציית גרין $ G(x-x')\, $ עבור הד'אלמברטיאן מקיימת:
- $ \Box G(x-x')=\delta (x-x') $
- כאשר $ \delta (x-x')\, $ היא פונקציית דלתא של דיראק ו-$ x\, $ ו-$ x'\, $ הם נקודות במרחב מינקובסקי. פתרון המשוואה נותן את פונקציית גרין:
- $ G(t,x,y,z)={\frac {1}{2\pi }}\Theta (t)\delta (t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right) $
- כאשר $ \,\Theta $ היא פונקציית מדרגה.
אנליזה וקטורית | ||
---|---|---|
מושגים | אנליזה מתמטית - מונחים • מרחב וקטורי • שדה סקלרי • שדה וקטורי • גרדיאנט • נגזרת כיוונית • דיברגנץ • רוטור • לפלסיאן • דל במערכות צירים שונות • ד'אלמברטיאן • פוטנציאל וקטורי | |
משפטים | משפט גאוס • משפט גרין • משפט הגרדיאנט • משפט סטוקס | |
אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה • גאומטריה דיפרנציאלית |
קישורים חיצוניים
- ד'אלמברטיאן, באתר MathWorld (באנגלית)
ד'אלמברטיאן36159036Q911268