פולינום

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פולינום במשתנה $\ x$ הוא ביטוי מהצורה $\ a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ כאשר $\ a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ הם קבועים; למשל, $\ 3x^{2}+7x-5$ . באותו אופן אפשר להגדיר כמובן פולינום בכל משתנה אחר ( $\ y^{9}-y$ הוא פולינום במשתנה $y$ ), וגם פולינומים בכמה משתנים, כמו $\ x^{3}yz+xy^{3}z-2xy$ .

פולינום שבו המקדמים הם מספרים ממשיים נקרא פולינום ממשי. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים בשדה (או חוג) כלשהו $F$ , ואז מדובר ב"פולינום מעל $F$ ".

המחוברים $\ a_{k}x^{k}$ נקראים מונומים. במונום כזה, $k$ היא החזקה או המעריך, והקבוע $\ a_{k}$ הוא המקדם. החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום $p$ היא המעלה של הפולינום, ומסמנים אותה ב- $\deg p(x)$ . המחובר $\ a_{0}$ נקרא המקדם החופשי ו- $\ a_{n}$ נקרא המקדם המוביל של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל- $1$ , אז הפולינום נקרא פולינום מתוקן. לדוגמה, $\ 3x^{2}+5x+12$ הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא $3$ .

אם מקדמי הפולינום $\ p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ שייכים לשדה $\ F$ , אז הוא מגדיר פונקציה פולינומית $f\colon F\rightarrow F$ באמצעות הצבה: $\ p(b)=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_{1}b+a_{0}$ . למשל, אם $\ p(x)=x^{2}+4$ אז $\ p(3)=3^{2}+4=13$ .

פונקציה מהצורה $f(x)={\frac {p_{1}(x)}{p_{2}(x)}}$ , כאשר $\ p_{1}(x),p_{2}(x)$ הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית.

פונקציה פולינומית אפשר לחשב במספר סופי של פעולות חיבור וכפל; משום כך יש לפולינומים (מעל הממשיים או המרוכבים) תפקיד מרכזי בתורת הקירובים.

ניתן לרשום פולינום כסכום בצורה הבאה: $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

שורש של פולינום

ערך מורחב – היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות

שורש (או אפס) של פולינום $\ f(x)$ הוא ערך $\ r$ שעבורו מתקיים $\ f(r)=0$ . מציאת השורשים של פולינום היא מהבעיות העתיקות ביותר במתמטיקה.

פולינום ממעלה שנייה, כלומר פולינום מהצורה $\ ax^{2}+bx+c$ ידוע בשם פולינום ריבועי. שיטה לפתרון משוואה ריבועית הייתה ידועה ליוונים הקדמונים, ואף קודם לכן לבבלים. רק במאה ה-16 נמצאה שיטה לפתרון כללי של משוואה ממעלה שלישית ורביעית: בשנת 1545 פרסם ג'ירולמו קרדאנו ספר שבו ייחס את השיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לטרטליה, ואת השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית יחס לתלמידו (של קרדאנו), לודוביקו פרארי. בתחילת המאה ה-19 הוכיחו נילס הנריק אבל ואווריסט גלואה שאין נוסחה כללית לשורש של פולינום שמעלתו גדולה מ-4, באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וחישוב רדיקלים (כלומר, הוצאת שורש מכל סדר).

לכל פולינום ממעלה אי זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי, כפי שניתן לראות מיידית ממשפט ערך הביניים. לפולינומים ממעלה זוגית, כגון $x^{2}+1$ , אין שורש ממשי, אך תמיד יש שורש מרוכב. לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים (לרבות חזרות) בשדה המספרים המרוכבים.

פולינום במקדמים רציונליים

כאשר המקדמים $a_{i}$ של הפולינום הם מספרים רציונליים, שורשיו נקראים מספרים אלגבריים. מספר טרנסצנדנטי (כמו פאי) הוא מספר כזה שאינו שורש של אף פולינום שמקדמיו רציונליים.

את הפתרונות הרציונליים של פולינום במקדמים שלמים אפשר למצוא באמצעות המשפט הבא: יהי $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ פולינום שכל מקדמיו שלמים. נניח ש ${\frac {c}{d}}\in \mathbb {Q}$ מספר רציונלי שהוא שורש של הפולינום $p(x)$ . אזי מתקיים: $c$ מחלק את $a_{0}$ ו- $d$ מחלק את $a_{n}$ .

המשפט מספק קבוצה סופית של פתרונות אפשריים, שאותם ניתן לבדוק בהצבה ישירה.

חוג הפולינומים

ערך מורחב – חוג פולינומים

קבוצת כל הפולינומים מעל שדה $\mathbb {F}$ או חוג $R$ נתון מהווה חוג, ומסומנת לרוב ב $\mathbb {F} [x]$ או $\ R[x]$ בהתאמה. מעל שדה, החוג מהווה חוג אוקלידי. נדון בקצת מתכונותיהן:

ליניאריות

אם $\ x_{0}$ שורש של פולינום $\ p$ (כלומר, $p(x_{0})=0$ ) אזי הוא שורש של הפולינום $q=\lambda p$ לכל סקלר $\ \lambda$ . כיוון ש- $\ q(x)=\lambda p(x)=\lambda 0=0$ .
אם $\ x_{0}$ הוא שורש של הפולינומים $\ p,q$ , (כלומר, $p(x_{0})=q(x_{0})=0$ ) אזי הוא גם השורש של סכומם $\ p+q$ , כיוון ש- $[q+p](x_{0})=q(x_{0})+p(x_{0})=0+0=0$ .

לכן, קבוצת כל הפולינומים ממעלה $\ n$ אשר $\ x$ הוא שורש שלהם מהווים מרחב וקטורי ביחס לפעולות חיבור וכפל בסקלר.

אוקלידיות

נתונים פולינום $\ p,q$ , כך שמעלת $\ q$ גדולה ממעלת $\ p$ . אזי תמיד אפשר לרשום

\ q=s\cdot p+r

כאשר $s$ נקרא פולינום המנה ו- $r$ נקרא פולינום השארית ומעלתו קטנה מהמעלה של $\ p$ . פולינום המנה $\ s$ ופולינום השארית $\ r$ נקבעים ביחידות. נאמר ש- $\ q$ מתחלק ב- $\ p$ אם ורק אם $r=0$ . באמצעות חילוק בשארית קל להיווכח בטענה חשובה: המספר $\ c$ הוא שורש של הפולינום $\ p(x)$ אם ורק אם הביטוי $(x-c)$ מחלק את $p$ .

לעיתים ניתן לקבוע אם פולינום שמקדמיו שלמים ניתן לפירוק כמכפלת שני פולינומים בעזרת קריטריון איזנשטיין.

שדה הפונקציות הרציונליות

שדה השברים הנוצר מהחוג $\mathbb {F} [x]$ הוא קבוצת כל הפונקציות הרציונליות, המסומנת ב $\mathbb {F} (x)$ . אלו כל הביטויים מהצורה ${\frac {p(x)}{q(x)}}$ , כאשר $\ p,q\in \mathbb {F} [x]$ .

פולינומים במספר משתנים

ניתן להכליל את מושג הפולינום לפולינמים במספר משתנים. פולינום ב-2 משתנים $\ x,y$ , לדוגמה, הוא ביטוי מהצורה $\sum _{m,n}a_{m,n}x^{n}\cdot y^{m}$ . בצורה דומה ניתן להגדיר פולינום ב- $n$ משתנים.

קבוצת כל הפולינומים ב- $n$ משתנים מעל חוג היא עדיין חוג, אך עבור $n>1$ זהו אינו חוג ראשי. חוג הפולינומים באינסוף משתנים אינו חוג נותרי.

תת-קבוצה חשובה של פולינומים במספר משתנים הם הפולינומים הסימטריים. פולינום $f(x_{1},...,x_{n})$ ב- $n$ משתנים $x_{1},\dots ,x_{n}$ נקרא סימטרי אם לכל תמורה $\sigma \in S_{n}$ מתקיים

f\left(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},...,x_{\sigma (n)}\right)=f\left(x_{1},...,x_{n}\right)

.

כל פולינום סימטרי ניתן להצגה כפולינום ב- $s_{1},...,s_{n}$ כאשר $s_{1},...,s_{n}$ הם הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב- $n$ משתנים. לדוגמה, עבור $n=3$ הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם: