צימוד תרמי

צימוד תרמי (באנגלית: Thermal contact) הוא מושג בתרמודינמיקה ופיזיקה תרמית המתאר אינטראקציה בין שתי מערכות תרמודינמיות (או יותר), בה מתאפשר חילוף אנרגיה תרמית בין המערכות על ידי הולכת חום.
כאשר שתי מערכות תרמודינמיות נמצאות בצימוד תרמי, חום יזרום מהמערכת בעלת הטמפרטורה הגבוהה יותר (המערכת החמה) למערכת בעלת הטמפרטורה הנמוכה יותר (המערכת הקרה). כתוצאה מכך תרד טמפרטורת המערכת החמה, המאבדת אנרגיה תרמית בתהליך, ותעלה טמפרטורת המערכת הקרה בהתאם. זרימת החום תיפסק בהגעה לשיווי משקל תרמודינמי, שיתקיים כאשר תגענה המערכות לשוויון טמפרטורות.
התנאי לשיווי משקל תרמודינמי
מערכת A נמצאת בצימוד תרמי עם מערכת B. שתי המערכות יחד מהוות מערכת סגורה, כלומר אינן מחליפות אנרגיה עם הסביבה או עם מערכת אחרת. הנפח ומספר החלקיקים של כל מערכת נשארים קבועים. משימור אנרגיה כוללת של שתי המערכות יחד מתקיים: $ U=U_{A}+U_{B}=Const $.
נראה כי התנאי לשיווי משקל תרמודינמי הוא שוויון טמפרטורות בין המערכות בשתי דרכים, תוך שימוש בשיקולים שונים:

שיווי משקל משיקולי פונקציות תרמודינמיות[1]
נסתכל על האנטרופיה הכוללת של שתי המערכות: $ S=S_{A}+S_{B} $. התנאי לשיווי משקל הוא מקסימום של האנטרופיה הכוללת: $ dS=0 $.
מהחוק הראשון של התרמודינמיקה, תוך שמירת הנפח ומספר החלקיקים של כל מערכת קבועים, נקבל: $ dS={\displaystyle \left({\frac {\partial S_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}dU_{A}+\left({\frac {\partial S_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}dU_{B}} $
נשתמש בהגדרת הטמפרטורה: $ {\frac {1}{T}}={\Bigl (}{\frac {\partial S}{\partial U}}{\Bigr )}_{V,N} $, ונקבל: $ dS={\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}dU_{A}+{\frac {1}{T}}_{B}dU_{B}} $
משימור אנרגיה כוללת מתקיים: $ dU_{B}=-dU_{A} $, לכן: $ dS={\displaystyle {\Bigl (}{\frac {1}{T}}_{A}-{\frac {1}{T}}_{B}{\Bigr )}dU_{A}} $
מכאן ניתן לראות שהדרישה $ dS=0 $ שקולה לדרישה: $ \Leftarrow {\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}={\frac {1}{T}}_{B}} $ שיווי משקל תרמודינמי יתקיים עבור $ T_{A}=T_{B} $.
שיווי משקל משיקולי פיזיקה סטטיסטית[2]
נסתכל על פונקציית הריבוי $ g(U,V,N) $ של המערכת הסגורה, המתארת את מספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים המתאימים למצב מקרוסקופי מסוים;
המערכות בלתי תלויות (מלבד האילוץ של שימור אנרגיה כוללת), לכן משיקולי קומבינטוריקה ניתן לכתוב את פונקציית הריבוי הכוללת כמכפלת פונקציות הריבוי של כל אחת מהמערכות, תוך סכימה על אנרגיות $ U_{A},U_{B} $ אפשריות שונות:
$ g_{tot}=\sum _{U_{A},U_{B}}g_{A}\cdot g_{B}=\sum _{U_{A},U_{B}}g_{A}(U_{A},V_{A},N_{A})\cdot g_{B}(U_{B},V_{B},N_{B}) $
משימור אנרגיה כוללת במערכת הסגורה מתקיים:
$ g_{tot}=\sum _{0\leq U_{A}\leq U}g_{A}(U_{A},V_{A},N_{A})\cdot g_{B}(U-U_{A},V_{B},N_{B}) $

מצב שיווי המשקל הוא המצב המקרוסקופי עבורו קיים מספר מקסימלי של מצבים מיקרוסקופיים זמינים: $ dg_{tot}=0 $. מקסימום זה מאופיין בשיא צר, כך שניתן להזניח את תרומת המצבים המקרוסקופיים האחרים לפונקציית הריבוי הכוללת. הנפח ומספר החלקיקים של כל מערכת נותרים קבועים, לכן (תוך שימוש בנגזרת מכפלה) נקבל: $ dg_{tot}={g_{B}\displaystyle \left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}dU_{A}+g_{A}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}dU_{B}} $
משימור אנרגיה כוללת מתקיים: $ dU_{B}=-dU_{A} $, לכן:
$ dg_{tot}={g_{B}\displaystyle \left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}dU_{A}-g_{A}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}dU_{A}} $
מכאן ניתן לראות שהדרישה $ dg_{tot}=0 $ שקולה לדרישה:$ {\displaystyle {\frac {1}{g_{A}}}\left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}={\frac {1}{g_{B}}}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}}\Leftrightarrow {g_{B}\displaystyle \left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}=g_{A}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}} $
$ \Leftarrow $ מתכונות נגזרת לוגריתם, שיווי משקל תרמודינמי יתקיים עבור: $ {\displaystyle \left({\frac {\partial log(g_{A})}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}=\left({\frac {\partial log(g_{B})}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}} $
נגדיר את האנטרופיה חסרת הממדים: $ \sigma (U,V,N)\equiv log(g(U,V,N)) $, המקיימת $ S=k_{B}\sigma $ כאשר $ k_{B} $ הוא קבוע בולצמן,
ונקבל כי בשיווי משקל: $ {\displaystyle \left({\frac {\partial \sigma _{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}=\left({\frac {\partial \sigma _{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}} $
בנוסף, נגדיר את הטמפרטורה: $ {\displaystyle {\frac {1}{T}}\equiv k_{B}\left({\frac {\partial \sigma }{\partial U}}\right)_{V,N}} $ ונקבל: $ \Leftarrow {\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}={\frac {1}{T}}_{B}} $ שיווי משקל תרמודינמי יתקיים עבור $ T_{A}=T_{B} $.
כיוון זרימת החום
נראה כי חום יזרום מהמערכת החמה למערכת הקרה עד ההגעה לשיווי משקל:
נניח שרירותית כי חום זרם ממערכת A למערכת B $ dU_{A}=-dU_{B}<0\Leftarrow $. נסתכל על השינוי באנטרופיה הכוללת:
$ dS={\frac {1}{T_{A}}}dU_{A}+{\frac {1}{T_{B}}}dU_{B}={\Bigl (}{\frac {1}{T_{A}}}-{\frac {1}{T_{B}}}{\Bigr )}dU_{A} $
בשיווי משקל תרמודינמי האנטרופיה מקסימלית (וכן אינה יכולה לקטון בתהליך ספונטני) $ dS\geq 0\Leftarrow $, בפרט כיוון שההנחה היא שזרם חום בין המערכות אזי $ dS>0 $,
אבל הנחנו כי $ dU_{A}<0 $, לכן בהכרח מתקיים $ T_{A}>T_{B}\Leftarrow {\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}<{\frac {1}{T}}_{B}} $.
קיבלנו כי חום אכן זורם מהמערכת החמה למערכת הקרה, עד אשר מתקיים שוויון טמפרטורות.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Herbert B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, Second Edition, University of Pennsylvania, John Wiley & Sons,1985
- Enrico Fermi, Thermodynamics, Dover, 1936
- C.J. Adkins, Equilibrium Thermodynamics, 3rd Edition, Cambridge University Press, 1983
- Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics, University of California, W.H. Freeman and Company, 1980
- David Goodstein, Thermal Physics, Cambridge University Press, 2015
הערות שוליים
מכניקה סטטיסטית | ||
---|---|---|
תאוריה | עקרון גידול האנטרופיה • ergodic theory | ![]() |
תרמודינמיקה סטטיסטית | צברים • פונקציית חלוקה • משוואות מצב • פוטנציאלים תרמודינמיים: (U • H • F • G) • קשרי מקסוול | |
מודל סטטיסטי | Ferromagnetism models (איזינג • פוטס • הייזנברג • חלחול EN) • חלקיקים בעלי שדה כוחות (כוחות דלדול EN • פוטנציאל לנארד-ג'ונס) | |
גישות מתמטיות | משוואת בולצמן • משפט־H • משוואת ולסוב • מדרג BBGKY • תהליך סטוכסטי • תורת שדה ממוצע ותורת השדות הקונפורמית | |
תופעות קריטיות | מעבר פאזה • אקספוננט קריטי (מרחק קורלציה • size scaling) | |
אנטרופיה | בולצמן • שאנון • צאליס • רניי • פון נוימן | |
יישומים | תורת השדות הסטטיסטית (חלקיקים יסודיים • נוזלי־על) • פיזיקה של חומר מעובה • מערכות מורכבות (כאוס • תורת האינפורמציה • אנטרופיה בתרמודינמיקה ובתורת האינפורמציה • מכונת בולצמן) |
צימוד תרמי30689143