חילוק

באריתמטיקה, חילוק היא פעולה בינארית ההפוכה לכפל. בפעולת חילוק נתונים שני מספרים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני, שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה" (באנגלית: quotient) ומסומן לעיתים באות q. פעולת החילוק מסומנת בסימן $\ /$ או בסימן $:$ . באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות שבר, כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה.

חילוק במספרים הטבעיים והשלמים

$\ 20:4=5$

הבסיס להגדרת פעולת החילוק הוא חילוק של מספרים טבעיים. נושא זה נלמד בכיתות הנמוכות של בית הספר היסודי בין השאר כיוון שקל להמחישו ולכן הוא מתאים ל"שלב האופרציות המוחשיות" בו נמצאים הילדים לפי תאוריית ההתפתחות הקוגניטיבית של פיאז'ה. בהקשר זה נלמדים שני מודלים: "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה".

חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקת מספר לחלקים שווים: אם מחלקים a איברים ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? המחלק מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק. בתמונה מודגם חילוק לחלקים באמצעות תפוחים: קבוצה של 20 תפוחים מתחלקת ל-4 חלקים, לכן בכל חלק יהיו 5 תפוחים.

בחילוק להכלה נתונים החלק והשלם ומבקשים לדעת כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, אם מחלקים a איברים למספר קבוצות שוות בגודל b, לכמה קבוצות חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק.

בשני המקרים, ניתן לראות את החילוק כפעולה ההפוכה לכפל. במקרה של חילוק לחלקים הנכפל (החלק) הוא הנעלם ובמקרה של חילוק להכלה הנעלם הוא הכופל (מספר החלקים).

בעוד שמודלים אלה הם הכרחיים הן מבחינת סדר הלימוד והן מבחינת גיל התלמידים, אפרים פישביין ראה בהם מקור לטעות הנפוצה לפיה "חילוק מקטין". תכונה זו שאמנם נכונה למספרים טבעיים לא קיימת בהרחבה של החילוק למספרים רציונליים (למשל במספר קטן מ-1). לפי ההשערה של פישביין, מקור הטעות הוא שאריות ממודלים אלו שממשיכות לפעול באופן סמוי גם לאחר שהתלמידים למדו חלוקה של מספרים רציונליים ואת התכונות המאפיינות אותה.

חילוק עם שארית

עבור שני מספרים טבעיים a ו-b, אומרים ש-a מחלק את b, אם קיים מספר טבעי q כך שמתקיים $b=aq$. בהרחבה למספרים השלמים, עבור אומרים שמספר שלם a מחלק מספר שלם b, אם קיים מספר שלם q כך שמתקיים $b=aq$.

פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם לא בקבוצת המספרים השלמים. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש- $3\times 6=18$, אבל 3 לא מחלק את 10 כיוון שלכל $q\leq 3$ מתקיים $3q\leq 9$ ולכל $q\geq 4$ מתקיים $3q\geq 12$. יחד עם זאת, ניתן להגדיר פעולת חילוק בשלמים שתוצאתה היא מנה q ושארית $0\leq r<a$ שלמות המקיימות $b=aq+r$. ניתן להציג את תוצאת הפעולה כמספר מעורב מהצורה $q{\frac {r}{a}}$ (לדוגמה, $10:3=3{\frac {1}{3}}$). פעולה זו מוגדרת היטב, כיוון לפי "משפט החלוקה עם שארית" לכל $\mathbb {Z} \ni a\neq 0$ ו- $\mathbb {Z} \ni b$ קיים זוג סדור יחיד $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \ni (q,r)$ המקיים את התנאים הנ"ל.

כדי לבדוק האם שני מספרים מתחלקים זה בזה, משתמשים במבחני התחלקות.

הרחבות

חילוק מספרים רציונליים

חילוק של שני מספרים רציונליים מוגדר באמצעות כפל בהופכי, כלומר:

${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}$.

חילוק מספרים מרוכבים

כדי לחלק מספרים מרוכבים, מכפילים מחלק ומחולק בצמוד של המספר. התהליך הוא כזה:

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{|c+di|^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {-ad+bc}{c^{2}+d^{2}}}i$

ניתן גם להגדיר חילוק בעזרת ההצגה הקוטבית, תוך שימוש בנוסחת אוילר:

${pe^{iq} \over re^{is}}={p \over r}e^{i(q-s)}$.

חילוק באפס

ערך מורחב – חלוקה באפס

התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל $\ c\neq 0$ לא קיים מספר $\ a$ כך ש$\ a\times 0=c$, ואילו כאשר המחלק גם הוא 0 המשוואה היא $\ a\times 0=0$ ואז כל מספר הוא תשובה לשאלה, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת.

חילוק מודולרי

ערך מורחב – חילוק מודולרי

ניתן גם להגדיר חילוק בחשבון מודולרי. החילוק מוגדר היטב אם מספר המודולו הוא ראשוני.

ראו גם

• ארבע פעולות החשבון
• חלוקה בשתיים

קישורים חיצוניים

• חילוק, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35948263חילוק